用户: Estwald/Kirillov注记/Lie群和Lie代数的表示

1基本定义

2表示的操作

3不可约表示

引理 3.1 (引理 4.20). 设 $\rho :G\to \mathrm{GL}(V)$ 是 $G$ 的一个表示 (相应地, $\mathfrak{g}$), $A:V\to V$ 是一个可对角化的缠结算子. 记 $V_{\lambda }\subset V$ 为 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征子空间, 则每个 $V_{\lambda }$ 都是一个子表示, 并且作为 $G$ 的表示 (相应地, $\mathfrak{g}$) 有直和分解 $V=⨁V_{\lambda }$.

证明. 由于 $A$ 可对角化, 我们有作为向量空间的直和分解 $V=⨁V_{\lambda }$, 于是只要验证每个 $V_{\lambda }$ 都是一个子表示. 下面以 $G$-表示为例证明 ($\mathfrak{g}$ 的情形类似).

任取 $v\in V_{\lambda },g\in G$, 由于 $A$ 缠结, $A(g.v)=g.(Av)=g.(\lambda v)=\lambda (g.v)$, 故 $g.v\in V_{\lambda }$, 于是 $V_{\lambda }$ 构成子表示.

$\square$

4缠结算子和 Schur 引理

5酉表示的完全可约性: 有限群的表示

6紧 Lie 群的 Haar 测度

$♠$ 知道 Haar 测度的存在 (唯一) 性还不够, 我们经常需要算出具体的表达式, 但这一般并不容易. Kirillov 书上介绍了一种方法: 找适当的类函数积分. 在具体的例子中, 有时候我们还有其他的办法, 比如利用 Lebesgue 测度下的换元积分公式. 我不想整理出一套一般性的算法, 下面以一维仿射群和 Heisenberg 群为例子展示.

例 6.1 (一维仿射群, $ax+b$ 群). 一维仿射群 (或 $ax+b$ 群) 定义为形如 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right),a\in {\mathbb{R}}_{+},b\in \mathbb{R}$ 的矩阵生成的 $\mathrm{GL}(2,\mathbb{R})$ 的子群. 我们可计算矩阵乘法$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ax& ay+b\\ 0& 1\end{array}\right)$$

考虑 ${\mathbb{R}}^2$ 的自同胚 $(x,y)\mapsto (ax,ay+b)$, 其微分为 $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right)$, 微分的行列式为 $a^2$, 故根据换元积分公式, $\frac{1}{a^2}dadb$ 给出一维仿射群上的左不变测度.

考虑 ${\mathbb{R}}^2$ 的自同胚 $(a,b)\mapsto (ax,ay+b)$, 其微分为 $\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& 1\end{array}\right)$, 微分的行列式为 $x$, 故根据换元积分公式, $\frac{1}{x}dxdy$ 给出一维仿射群上的右不变测度.

例 6.2 (Heisenberg 群). Heisenberg 群定义为 $\mathrm{GL}(3,\mathbb{R})$ 的主对角线为 $1$ 的上三角子群. 我们可计算矩阵乘法$$\left(\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 0& 1& c\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& x& y\\ 0& 1& z\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& x+a& y+az+b\\ 0& 1& z+c\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

考虑 ${\mathbb{R}}^3$ 的自同胚 $(x,y,z)\mapsto (x+a,y+az+b,z+c)$, 其微分为 $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& a\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, 微分的行列式为 $1$, 故根据换元积分公式, $dadbdc$ 给出 Heisenberg 群上的左不变测度.

考虑 ${\mathbb{R}}^3$ 的自同胚 $(a,b,c)\mapsto (x+a,y+az+b,z+c)$, 其微分为 $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ z& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, 微分的行列式为 $1$, 故根据换元积分公式, $dxdydz$ 给出 Heisenberg 群上的右不变测度.

7特征标的正交关系及 Peter–Weyl 定理

推论 7.1 (推论 4.48). 映射 $m$ 单.

$♠$ 保距推出单.

定理 7.2 (定理 4.49). 映射$$\widehat{\underset{V_i\in \hat{G}}{⨁}}{V}_i^{\ast }\otimes V_i\to L^2(G,dg)$$是同构.

$♠$ 这就是 (部分)Peter–Weyl 定理. 可以参考 Folland 的 A Course in Abstract Harmonic Analysis.

8$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 的表示

$♠$ 在 Etingof 的书 Introduction to representation theory 上有一节的习题研究 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 的表示.

引理 8.1 (引理 4.58). 给定 $\lambda \in \mathbb{C}$, 记 $M_{\lambda }$ 为线性无关的 $v^0,v^1,\cdots$ 自由生成的 (无穷维) 向量空间.

1.	公式$$\begin{array}{rl}& h{v}^k=(\lambda -2k)v^k\\ & f{v}^k=(k+1)v^{k+1}\\ & e{v}^k=(\lambda -k+1)v^{k-1},k>0\\ & e{v}^0=0\end{array}$$给出 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 在 $M_{\lambda }$ 上的一个表示.
2.	若 $V$ 是 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 的一个有限维不可约表示, 且包含一个非零的权重为 $\lambda$ 的最高权向量, 则存在 $M_{\lambda }$ 的子表示 $W$ 是的有作为 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$-表示的同构 $V\simeq M_{\lambda }/W$.

证明.

1.	对 $k>0$, 可计算得$$[e,f]v^k=ef{v}^k-fe{v}^k=e(k+1)v^{k+1}-f(\lambda -k+1)v^{k-1}=(\lambda -k)(k+1)v^k-k(\lambda -k+1)v^k=h{v}^k$$且$$[e,f]v^0=ef{v}^0-fe{v}^0=e{v}^1=\lambda v^0=h{v}^0$$故 $[e,f]=h$. 类似计算即能够得到 $[h,e]=2e,[h,f]=-2f$, 故上述作用给出 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 的一个表示.
2.	注意到 $M_{\lambda }\twoheadrightarrow V$ 是 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$-模同态.

$\square$

9球面 Laplace 算子及氢原子

$♠$ 关于极坐标下 Laplace 算子, 我曾经做过一些计算, 陈述在下面 (用了 Einstein 求和约定). 为节约篇幅, 计算过程就不展示了.

命题 9.1 (流形上极坐标下的 Laplace 算子). 设 $(M,d{s}^2)$ 是一个 $n$ 维 Riemann 流形, 那么在极坐标 $(r,{\theta }^1,\cdots ,{\theta }^{n-1})$ 下, 第一基本形式 $d{s}^2$ 可以 (局部地) 表示成$$d{s}^2=d{r}^2+r^2{g}_{ij}(r,\theta )d{\theta }^{i}d{\theta }^j$$进而 Laplace 算子可表示成$${\Delta }_{M}u=\frac{1}{r^{n-1}}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^{n-1}\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}{g}^{ij}\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^i\partial {\theta }^j}-{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial u}{\partial {\theta }^k}\right)+\frac{\partial \log \sqrt{\det g_{ij}}}{\partial r}\frac{\partial u}{\partial r}$$其中 ${\Gamma }_{ij}^k$ 是 Christoffel 符号, 红色的项在 Euclid 情况不出现.

10习题

习题 10.1 (习题 4.1). 设 $\phi :\mathrm{SU}(2)\to \mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$ 是习题 2.8 中构造的覆盖映射.

1.	证明 $\ker \phi =\{1,-1\}=\{1,e^{\pi ih}\}$, 其中 $h$ 由 (3.23) 定义.
2.	藉此证明 $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$ 的表示等同于 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 的那些满足 $e^{\pi i\rho (h)}=\mathrm{id}$ 的表示.

解. 第一目是早已知的. 考虑第二目. 由于 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})\simeq \mathfrak{s}\mathfrak{u}(2{)}_{\mathbb{C}}$, 故 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 的表示等同于 $\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)$ 的复表示. 又 $\mathrm{SU}(2)\simeq {\mathbb{S}}^3$ 是连通且单连通的 Lie 群, 故这些表示都可以提升为 $\mathrm{SU}(2)$ 的表示, 其中满足 $e^{\pi i\rho (h)}=\mathrm{id}$ 的那些可以被提升为 $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$ 的表示.

习题 10.2 (习题 4.2). 设 $V={\mathbb{C}}^2$ 为 Lie 代数 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 的标准表示, $S^{k}V$ 为其对称张量表示.

1.	计算 $e,f,h\in \mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 在 $e_1^i{e}_2^{k-i}$ 上的作用.
2.	证明 $S^{2}V$ 作为表示同构于 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 的伴随表示.
3.	根据 4.1 节的结果, $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 的表示都可以看成 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3,\mathbb{R})$ 的表示. 其中哪些可以被提升为 $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$ 的表示?

解. 回忆 $e=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),f=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),h=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$.

1.	先计算 $e,f,h$ 在 $V$ 上的作用: $$e.e_1=(e_1{e}_2)\frac{d}{dt}\exp (te)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right){|}_{t=0}=(e_1{e}_2)\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right){|}_{t=0}=0,$$$$e.e_2=(e_1{e}_2)\frac{d}{dt}\exp (te)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right){|}_{t=0}=(e_1{e}_2)\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}t\\ 1\end{array}\right){|}_{t=0}=e_1.$$类似可计算得 $f.e_1=e_2,f.e_2=0,h.e_1=e_1,h.e_2=-e_2$. 使用张量表示的 Leibniz 法则, 我们能算出 $e.e_1^i{e}_2^{k-i}=(k-i)e_1^{i+1}{e}_2^{k-i-1},f.e_1^i{e}_2^{k-i}=i{e}_1^{i-1}{e}_2^{k-i+1},h.e_1^i{e}_2^{k-i}=(2i-k)e_1^i{e}_2^{k-i}$.
2.	固定 $S^{2}V$ 的一组基 $e_1^2,e_1{e}_2,e_2^2$. 将第一目的结果应用于 $S^{2}V$ 知 $e,f,h$ 在这组基下的表示矩阵分别为$$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right).$$固定 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 的基 $e,f,h$, 则由 $[e,f]=h,[h,e]=2e,[h,f]=2f$ 知 $e,f,h$ 在固定这组基的伴随表示下的表示矩阵分别为$$\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 2\\ -1& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$利用 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 表示的分类可知 $S^{2}V,\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 皆同构于最高权 $2$ 的不可约表示. $♡$ 考虑 $S^{2}V$ 的基 $-e_1^2,e_2^2,2e_1{e}_2$, 则 $e,f,h$ 在这组基下的表示矩阵恰为上面 $3$ 个矩阵. 这证明了 $S^{2}V$ 同构于 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 的伴随表示.
3.	利用习题 10.1的第二目可知 $S^{k}V$ 可被提升为 $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$ 的表示当且仅当 $h$ 的表示矩阵的主对角线上均为偶数. 由第一目的计算知这等价于 $k$ 是偶数.

习题 10.3 (习题 4.7). $\mathfrak{g}$ 为 Lie 代数, $(,)$ 为 $\mathfrak{g}$ 上的 $\mathrm{ad}$-不变对称双线性型. 证明 $({\mathfrak{g}}^{\ast }{)}^3$ 的元素$$\omega :(x,y,z)\mapsto ([x,y],z)$$是 $\mathrm{ad}$-不变的反对称多线性型.

解. $\mathrm{ad}$-不变对称双线性型的定义是 $([x,y],z)+(y,[x,z])=0$, 即得 $\omega$ 的反对称性.

$\omega$ 的 $\mathrm{ad}$-不变性: $$\begin{array}{rl}& ([[w,x],y],z)+([x,[w,y]],z)+([x,y],[w,z])\\ & =([[w,x],y],z)+([x,[w,y]],z)+([w,z],[x,y])\text{(对称性)}\\ & =([[w,x],y],z)+([x,[w,y]],z)-([w,[x,y]],z)\text{(反对称性)}\\ & =0\text{(Jacobi等式)}.\end{array}$$

$♡$ 书上似乎没有定义 $\mathrm{ad}$-不变的多线性型. 事实上, 设 $\rho :\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ 是 $\mathfrak{g}$ 的表示, 其诱导的 $(V^{\ast }{)}^{\otimes k}$ 上的典范表示为 $({\rho }_{(V^{\ast }{)}^{\otimes k}}(x)f)(v_1,\cdots ,v_k)=-f(\rho (x)v_1,\cdots ,v_k)-\cdots -f(v_1,\cdots ,\rho (x)v_k).$ 多线性型 $f\in (V^{\ast }{)}^{\otimes k}$ 不变是指作为 $\mathfrak{g}$ 的表示 $(V^{\ast }{)}^{\otimes k}$ 的元素不变, 即 ${\rho }_{(V^{\ast }{)}^{\otimes k}}(x)f=0\forall x\in \mathfrak{g}$.

习题 10.4 (习题 4.8). 设 $A:{\mathbb{C}}^n\to {\mathbb{C}}^n$ 是一个有限阶的线性算子, 即对某个 $k$, $A^k=I$. 证明 $A$ 可对角化.

解. 标准的一年级线性代数做法是利用极小多项式无重根. 这里考虑的做法是将 ${\mathbb{C}}^n$ 视作 $⟨A⟩\simeq \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$ 的表示, 则有限群表示的完全可约性将 ${\mathbb{C}}^n$ 分解为不可约表示的直和. 然而 $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$ 为交换群, 其不可约表示均为一维的, 得证.

习题 10.5 (习题 4.9). 设 $C$ 是一个正方体, $C=\{|x_i|\le 1\}$. $S$ 是 $C$ 的 $6$ 个面的集合, $V$ 是 $S$ 上复值函数的 $6$ 维复线性空间. 定义 $A:V\to V$, 对于 $f\in V,\sigma \in S$, $$Af(\sigma )=\frac{1}{4}\sum _{{\sigma }^{\prime }\text{与}\sigma \text{相邻}}f({\sigma }^{\prime }).$$我们的目标是将 $A$ 对角化.

1.	设 $G=\{g\in O(3,\mathbb{R}):g(C)=C\}$ 是正方体的对称群, 其自然地作用于 $V$ 上. 证明 $A$ 与 $G$ 的作用交换.
2.	设 $z=-I\in G$. 证明 $V$ 作为 $G$ 的表示可分解为 $V=V_{+}\oplus V_{-}$, 其中 $V_{\pm }$ 分别为 $z$ 对应 $\pm 1$ 的特征子空间.
3.	证明 $V_{+}$ 作为 $G$ 的表示可分解为 $V_{+}=V_{+}^0\oplus V_{+}^1$, 其中 $V_{+}^0=\{f\in V_{+}:{\sum }_{\sigma }f(\sigma )=0\}$, $V_{+}^1=\mathbb{C}\cdot 1$. ($1$ 表示取值为 $1$ 的常函数.)
4.	求 $A$ 在 $V_{-},V_{+}^0,V_{+}^1$ 上的特征值. (事实上, 这 $3$ 个子表示都是 $G$ 的不可约表示.)

解. $♡$

1.	对于 $g\in G$, $g$ 在 $f\in V$ 上的作用为$$(gf)(\sigma )=f(g^{-1}\sigma ).$$$$\begin{array}{rlr}A(gf)(\sigma )& =\frac{1}{4}\sum _{{\sigma }^{\prime }\text{与}\sigma \text{相邻}}gf({\sigma }^{\prime })& \text{(A的定义)}\\ & =\frac{1}{4}\sum _{{\sigma }^{\prime }\text{与}\sigma \text{相邻}}f(g^{-1}{\sigma }^{\prime });& \text{(g的定义)}\\ (gAf)(\sigma )& =Af(g^{-1}\sigma )& \text{(g的定义)}\\ & =\frac{1}{4}\sum _{g^{-1}{\sigma }^{\prime }\text{与}{g}^{-1}\sigma \text{相邻}}f(g^{-1}{\sigma }^{\prime })& \text{(A的定义)}\\ & =\frac{1}{4}\sum _{{\sigma }^{\prime }\text{与}\sigma \text{相邻}}f(g^{-1}{\sigma }^{\prime }).& \end{array}$$
2.	这是因为 $z$ 属于 $G$ 的中心.
3.	这是因为 $s\in V^{\ast },s(f)={\sum }_{\sigma }f(\sigma )$ 在 $G$ 的作用下不变.
4.	$A$ 在 $V_{-}$ 上等于 $0$ 映射, 在 $V_{+}^0$ 上等于 $-\frac{1}{2}\mathrm{i}\mathrm{d}$, 在 $V_{+}^1$ 上等于 $\mathrm{i}\mathrm{d}$.

习题 10.6 (习题 4.10). 设 $G=SU(2)$, $G$ 作用在 $G\simeq {\mathbb{S}}^3$ 上.

1.	证明 $G$ 的作用可以延拓为 $G$ 在 ${\mathbb{R}}^4$ 上通过正交矩阵的作用.
2.	设 $\omega \in {\Omega }^3(G)$ 为左不变 $3$-形式, 在 $T_{1}G$ 上的取值为$$\omega (x_1,x_2,x_3)=\mathrm{tr}([x_1,x_2]x_3),x_1,x_2,x_3\in \mathfrak{g}.$$证明 $\omega =\pm 4dV$, 其中 $dV$ 为 ${\mathbb{S}}^3$ 上由 ${\mathbb{R}}^4$ 的标准度量诱导的体积形式.
3.	证明 $\frac{1}{8{\pi }^2}\omega$ 为 $G$ 上的双不变 $3$-形式, 可选取适当的定向使得其在 $G$ 上的积分等于 $1$.

解.

1.	回忆$$i{\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right),i{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),i{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)\in SU(2),$$考虑 $\mathrm{i}\mathrm{d},i{\sigma }_1,i{\sigma }_2,i{\sigma }_3$ 张成的 $4$ 维 $\mathbb{R}$ 线性空间, 其上自然有 $G$ 的作用. 关于正交性, 参见习题 2.7-2.10.
2.	回忆 $i{\sigma }_1,i{\sigma }_2,i{\sigma }_3$ 是 $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)$ 的标准正交基 (习题 2.7-2.10). 内积 $(x,y)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}(x{\overline{y}}^t)$ 实际上是一个 $\mathrm{ad}$-不变双线性型: 对于 $z\in \mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)$, $$\begin{array}{rlr}& \mathrm{tr}([z,x]{\overline{y}}^t)+\mathrm{tr}(x{\overline{[z,y]}}^t)& \\ & =\mathrm{tr}(zx{\overline{y}}^t-xz{\overline{y}}^t+x{\overline{zy}}^t-x{\overline{yz}}^t)& \\ & =\mathrm{tr}(zx{\overline{y}}^t-xz{\overline{y}}^t-x{\overline{y}}^{t}z+xz{\overline{y}}^t)& \\ & ({\overline{z}}^t=-z)& =0.\end{array}$$ 由习题 10.3, 这表明 $\omega$ 是反对称 $\mathrm{ad}$-不变多线性型. 注意到 $[i{\sigma }_1,i{\sigma }_2]=2{\overline{i{\sigma }_3}}^t$, 那么$$\begin{array}{rlr}\omega (i{\sigma }_1,i{\sigma }_2,i{\sigma }_3)& =\mathrm{tr}(2{\overline{i{\sigma }_3}}^{t}i{\sigma }_3)& =4.\end{array}$$而 $dV(i{\sigma }_1,i{\sigma }_2,i{\sigma }_3)=\pm 1$ (因为 $i{\sigma }_1,i{\sigma }_2,i{\sigma }_3$ 是 $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)$ 的标准正交基), 这说明 $\omega =\pm 4dV$.
3.	这是因为$${\int }_{{\mathbb{S}}^3}dV=2{\pi }^2.$$

习题 10.7 (习题 4.13). 课本上展示了 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 的有限维表示, 我们考虑 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3,\mathbb{R})$ 的类比.

1.	$\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3,\mathbb{R})$ 的每个有限维表示有权分解$$V=\underset{n\in \mathbb{Z}}{⨁}V[n]$$其中 $V[n]=\{v\in V:J_{z}v=\frac{in}{2}v\}$.
2.	上述表示 $V$ 可被提升成 $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$ 的表示当且仅当所有的权都是偶数, 即对任何奇数 $k,V[k]=0$.

在物理文献中, 数 $j=权/2$ 被称为自旋. 因此, 一个最高权 $3$ 的表示即物理学家所言的自旋 $3/2$ 表示. 上述结论表明一个 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3,\mathbb{R})$ 的表示 $V$ 可被提升成 $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$ 的表示当且仅当其自旋为整数.

习题 10.8 (习题 4.14). 在 $L^2({\mathbb{R}}^3,\mathbb{C})$ 中计算算子$$H=-\Delta -\frac{c}{r},c>0$$的特征值和重数. 这个算子描述了氢原子.