用户: Estwald/Kirillov注记/Lie群和Lie代数的表示

1基本定义

2表示的操作

3不可约表示

引理 3.1 (引理 4.20). 的一个表示 (相应地, ), 是一个可对角化的缠结算子. 记 对应于特征值 的特征子空间, 则每个 都是一个子表示, 并且作为 的表示 (相应地, ) 有直和分解 .

证明. 由于 可对角化, 我们有作为向量空间的直和分解 , 于是只要验证每个 都是一个子表示. 下面以 -表示为例证明 ( 的情形类似).

任取 , 由于 缠结, , 故 , 于是 构成子表示.

4缠结算子和 Schur 引理

5酉表示的完全可约性: 有限群的表示

6紧 Lie 群的 Haar 测度

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知道 Haar 测度的存在 (唯一) 性还不够, 我们经常需要算出具体的表达式, 但这一般并不容易. Kirillov 书上介绍了一种方法: 找适当的类函数积分. 在具体的例子中, 有时候我们还有其他的办法, 比如利用 Lebesgue 测度下的换元积分公式. 我不想整理出一套一般性的算法, 下面以一维仿射群Heisenberg 群为例子展示.

例 6.1 (一维仿射群, 群). 一维仿射群 (或 群) 定义为形如 的矩阵生成的 的子群. 我们可计算矩阵乘法

考虑 的自同胚 , 其微分为 , 微分的行列式为 , 故根据换元积分公式, 给出一维仿射群上的左不变测度.

考虑 的自同胚 , 其微分为 , 微分的行列式为 , 故根据换元积分公式, 给出一维仿射群上的右不变测度.

例 6.2 (Heisenberg 群). Heisenberg 群定义为 的主对角线为 的上三角子群. 我们可计算矩阵乘法

考虑 的自同胚 , 其微分为 , 微分的行列式为 , 故根据换元积分公式, 给出 Heisenberg 群上的左不变测度.

考虑 的自同胚 , 其微分为 , 微分的行列式为 , 故根据换元积分公式, 给出 Heisenberg 群上的右不变测度.

7特征标的正交关系及 Peter–Weyl 定理

推论 7.1 (推论 4.48). 映射 单.

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保距推出单.

定理 7.2 (定理 4.49). 映射是同构.

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这就是 (部分)Peter–Weyl 定理. 可以参考 Folland 的 A Course in Abstract Harmonic Analysis.

8 的表示

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在 Etingof 的书 Introduction to representation theory 上有一节的习题研究 的表示.

引理 8.1 (引理 4.58). 给定 , 记 为线性无关的 自由生成的 (无穷维) 向量空间.

1.

公式给出 上的一个表示.

2.

的一个有限维不可约表示, 且包含一个非零的权重为 的最高权向量, 则存在 的子表示 是的有作为 -表示的同构 .

证明.

1.

, 可计算得. 类似计算即能够得到 , 故上述作用给出 的一个表示.

2.

注意到 -模同态.

9球面 Laplace 算子及氢原子

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关于极坐标下 Laplace 算子, 我曾经做过一些计算, 陈述在下面 (用了 Einstein 求和约定). 为节约篇幅, 计算过程就不展示了.

命题 9.1 (流形上极坐标下的 Laplace 算子). 是一个 维 Riemann 流形, 那么在极坐标 下, 第一基本形式 可以 (局部地) 表示成进而 Laplace 算子可表示成其中 是 Christoffel 符号, 红色的项在 Euclid 情况不出现.

10习题

习题 10.1 (习题 4.1). 是习题 2.8 中构造的覆盖映射.

1.

证明 , 其中 由 (3.23) 定义.

2.

藉此证明 的表示等同于 的那些满足 的表示.

解. 第一目是早已知的. 考虑第二目. 由于 , 故 的表示等同于 的复表示. 又 是连通且单连通的 Lie 群, 故这些表示都可以提升为 的表示, 其中满足 的那些可以被提升为 的表示.

习题 10.2 (习题 4.2). 为 Lie 代数 的标准表示, 为其对称张量表示.

1.

计算 上的作用.

2.

证明 作为表示同构于 的伴随表示.

3.

根据 4.1 节的结果, 的表示都可以看成 的表示. 其中哪些可以被提升为 的表示?

解. 回忆 .

1.

先计算 上的作用: 类似可计算得 . 使用张量表示的 Leibniz 法则, 我们能算出 .

2.

固定 的一组基 . 将第一目的结果应用于 在这组基下的表示矩阵分别为固定 的基 , 则由 在固定这组基的伴随表示下的表示矩阵分别为利用 表示的分类可知 皆同构于最高权 的不可约表示.

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考虑 的基 , 则 在这组基下的表示矩阵恰为上面 个矩阵. 这证明了 同构于 的伴随表示.

3.

利用习题 10.1的第二目可知 可被提升为 的表示当且仅当 的表示矩阵的主对角线上均为偶数. 由第一目的计算知这等价于 是偶数.

习题 10.3 (习题 4.7). 为 Lie 代数, 上的 -不变对称双线性型. 证明 的元素-不变的反对称多线性型.

解. -不变对称双线性型的定义是 , 即得 的反对称性.

-不变性:

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书上似乎没有定义 -不变的多线性型. 事实上, 设 的表示, 其诱导的 上的典范表示为 多线性型 不变是指作为 的表示 的元素不变, 即 .

习题 10.4 (习题 4.8). 是一个有限阶的线性算子, 即对某个 , . 证明 可对角化.

解. 标准的一年级线性代数做法是利用极小多项式无重根. 这里考虑的做法是将 视作 的表示, 则有限群表示的完全可约性将 分解为不可约表示的直和. 然而 为交换群, 其不可约表示均为一维的, 得证.

习题 10.5 (习题 4.9). 是一个正方体, . 个面的集合, 上复值函数的 维复线性空间. 定义 , 对于 , 我们的目标是将 对角化.

1.

是正方体的对称群, 其自然地作用于 上. 证明 的作用交换.

2.

. 证明 作为 的表示可分解为 , 其中 分别为 对应 的特征子空间.

3.

证明 作为 的表示可分解为 , 其中 , . ( 表示取值为 的常函数.)

4.

上的特征值. (事实上, 这 个子表示都是 的不可约表示.)

解.

1.

对于 , 上的作用为

2.

这是因为 属于 的中心.

3.

这是因为 的作用下不变.

4.

上等于 映射, 在 上等于 , 在 上等于 .

习题 10.6 (习题 4.10)., 作用在 上.

1.

证明 的作用可以延拓为 上通过正交矩阵的作用.

2.

为左不变 -形式, 在 上的取值为证明 , 其中 上由 的标准度量诱导的体积形式.

3.

证明 上的双不变 -形式, 可选取适当的定向使得其在 上的积分等于 .

解.

1.

回忆考虑 张成的 线性空间, 其上自然有 的作用. 关于正交性, 参见习题 2.7-2.10.

2.

回忆 的标准正交基 (习题 2.7-2.10).

内积 实际上是一个 -不变双线性型: 对于 ,

由习题 10.3, 这表明 是反对称 -不变多线性型.

注意到 , 那么 (因为 的标准正交基), 这说明 .

3.

这是因为

习题 10.7 (习题 4.13). 课本上展示了 的有限维表示, 我们考虑 的类比.

1.

的每个有限维表示有权分解其中 .

2.

上述表示 可被提升成 的表示当且仅当所有的权都是偶数, 即对任何奇数 .

在物理文献中, 数 被称为自旋. 因此, 一个最高权 的表示即物理学家所言的自旋 表示. 上述结论表明一个 的表示 可被提升成 的表示当且仅当其自旋为整数.

习题 10.8 (习题 4.14). 中计算算子的特征值和重数. 这个算子描述了氢原子.