用户: Estwald/Kirillov注记/Lie群:基本定义

1微分几何回顾

$♠$ 似乎没什么好说的. Kirillov 推荐的微分几何参考书是 Spivak 的经典著作, 但我没有读过.

2Lie 群, 子群和陪集

定理 2.1 (定理 2.7). 设 $G$ 是连通 Lie 群, 则其万有覆盖 $\tilde{G}$ 有典范的 Lie 群结构, 使得覆盖映射 $p:\tilde{G}\to G$ 是 Lie 群同态, 其核同构于基本群 ${\pi }_1(G)$.

证明.

$♡$ 这个定理的证明细节留给了读者. 我就是读者.

$♠$ 我认为应该把 $G$ 看成带基点的拓扑空间 $(G,1)$. 另, 我感觉 $\ker p\simeq {\pi }_1(G,1)$ 是自然的.

回忆拓扑学中的如下结论: 对于连通流形 $M,N$, 任何连续映射 $f:M\to N$ 可被提升至万有覆盖之间的映射 $\tilde{f}:\tilde{M}\to \tilde{N}$. 进一步, 如果选定 $m\in M,n\in N$, $\tilde{m}\in \tilde{M},\tilde{n}\in \tilde{N}$, 使得 $p(\tilde{m})=m,p(\tilde{n})=n$, 那么存在唯一的提升 $\tilde{f}$ 使得 $\tilde{f}(\tilde{m})=\tilde{n}$.

任取 $\tilde{1}\in \tilde{G}$ 使得 $p(\tilde{1})=1\in G$. 由前述拓扑学结论, 对于取逆映射 $i:G\to G$, 存在唯一的提升 $\tilde{i}:\tilde{G}\to \tilde{G}$ 使得 $\tilde{i}(\tilde{1})=\tilde{1}.$

注意到 $\tilde{G}\times \tilde{G}$ 是单连通空间的乘积, 从而是单连通的, 其万有覆盖是自身.

考虑映射 $m:\tilde{G}\times \tilde{G}\to G$, $(x,y)\mapsto p(x)p(y)$. 那么 $m(\tilde{1},\tilde{1})=p(\tilde{1})\cdot p(\tilde{1})=1$. 由前述拓扑学结论, 存在唯一的提升 $\tilde{m}:\tilde{G}\times \tilde{G}\to \tilde{G}$, 使得 $\tilde{m}(\tilde{1},\tilde{1})=\tilde{1}$.

我们需要说明对 $x,y,z\in \tilde{G}$,

•	$\tilde{m}(\tilde{1},x)=x$;
•	$\tilde{m}(\tilde{i}(x),x)=\tilde{m}(x,\tilde{i}(x))=\tilde{1}$;
•	$\tilde{m}(x,\tilde{m}(y,z))=\tilde{m}(\tilde{m}(x,y),z)$.

事实上, 分别考虑

•	$f_1:\tilde{G}\to G,x\mapsto p(x)$ 的提升 ${\tilde{f}}_1$, 要求 ${\tilde{f}}_1(\tilde{1})=\tilde{1}$;
•	$f_2:\tilde{G}\times \tilde{G}\to G,(x,y)\mapsto p(x{)}^{-1}p(y)$ 的提升 ${\tilde{f}}_2$, 要求 ${\tilde{f}}_2(\tilde{1},\tilde{1})=\tilde{1}$;
•	$f_3:{\tilde{G}}^3\to G,(x,y,z)\mapsto p(x)p(y)p(z)$ 的提升 ${\tilde{f}}_3$, 要求 ${\tilde{f}}_3(\tilde{1},\tilde{1},\tilde{1})=\tilde{1}$.

所要证等式的左右两端分别是三个等式满足要求的提升. 于是, 这些结论成为提升的唯一性的推论.

$\square$

定理 2.2 (定理 2.9).

1.	$G$ 的闭 Lie 子群在 $G$ 中闭.
2.	Lie 群的任何闭子群都是闭的 Lie 子群.

$♠$ 第一部分见习题 8.1, 第二部分我尚且不会证明.

$♡$ 见闭子群定理.

定理 2.3 (定理 2.11). 设 $H$ 是 $G$ 的闭 Lie 子群, $\dim G=n,\dim H=k$. 那么陪集空间 $G/H$ 有自然的 $n-k$ 维流形结构, 且 $p:G\to G/H$ 是纤维丛, 其纤维同胚于 $H$. $G/H$ 在 $\bar{1}=p(1)$ 处的切空间 $T_{\bar{1}}(G/H)=T_1(G)/T_1(H)$.

若 $H$ 是正规的闭 Lie 子群, 那么 $G/H$ 有自然的 Lie 群结构.

$♠$ Kirillov 省略了一些微分几何的内容, 我暂时写不清楚.

推论 2.4 (推论 2.12). 设 $H$ 是 $G$ 的闭 Lie 子群.

1.	若 $H$ 连通, 则 ${\pi }_0(G)={\pi }_0(G/H)$;
2.	若 $G,H$ 连通, 则有正合列$${\pi }_2(G/H)\to {\pi }_1(H)\to {\pi }_1(G)\to {\pi }_1(G/H)\to 1.$$

$♡$ Lie 群的 ${\pi }_2$ 是平凡的, 但这个事实是不平凡的.

证明. 这是纤维丛上一般结论的特例. 见此页面.

$\square$

$♠$ 书上提到要计算 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 的基本群. 根据 Iwasawa 分解 (或者初等的 Gram–Schimdt 正交化), 我们有 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})=KAN$, 其中 $K=O(n,\mathbb{R})$, $A$ 为主对角线系数为正数的对角矩阵构成的群, $N$ 为主对角线为 $1$ 的上三角可逆矩阵群, $A$ 和 $N$ 都是可缩的, 而 $O(n,R)$ 中单位的连通分支即 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$, 因此归根到底是要计算 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ 的基本群.

$♠$ 计算 Lie 群的基本群是很重要的, 因为 Lie 代数对应于连通且单连通的 Lie 群, 所以如果想把 Lie 代数的结论搬运回 Lie 群上, 常常需要考虑万有覆叠, 但理解这个万有覆叠很不容易. 例如 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 的万有覆叠就没有有限维的忠实表示, 换句话说它不能写成矩阵群.

$♠$ 上面两段评论都是听 Richard Borcherds 说的. Borcherds 在他的 YouTube 上推出了很多精彩的视频.

3Lie 子群和同态定理

$♠$ 我基本上只想象代数的关系. 这种情况下这些理论就和抽象代数里的各种同态没什么区别.(不是因为我认为几何不重要或讨厌几何, 而是想象不出一般的流形.)

定理 3.1 (定理 2.15). 设 $f:G_1\to G_2$ 是 Lie 群同态, 则 $\ker f$ 是 $G_1$ 的正规闭 Lie 子群, 且 $f$ 给出 Lie 群单同态及流形的浸入 $G_1/H\to G_2$. 进一步, 若 $\mathrm{Im}f$ 是 $G_2$ 的嵌入子流形, 则其为闭 Lie 子群, $f$ 给出 Lie 群的同构 $G_1/H\to \mathrm{Im}f$.

这个定理的证明将在第 3 章使用 Lie 代数完成.

4Lie 群在流形上的作用及表示

$♠$ 我觉得这一节是特别重要的. 或许正由于此, Kirillov 把这一节写的比较清楚, 我暂时想不出需要注记什么.

5轨道和齐性空间

定理 5.1 (定理 2.20). 设 Lie 群 $G$ 作用于流形 $M$ 上, $m\in M$, 则 $m$ 的稳定化子 $G_m=\{g\in G:g.m=m\}$ 是 $G$ 的闭 Lie 子群, 且 $g\mapsto g.m$ 给出了一个浸入 $G/G_m\to M$.

$♡$ 这里 $G_m$ 不一定是正规子群, 因此 $G/G_m$ 应理解为陪集空间; 见定理2.3.

推论 5.2 (推论 2.21). 轨道 ${\mathcal{O}}_m$ 是 $M$ 的浸入子流形. $m$ 处的切空间$$T_m{\mathcal{O}}_m=T_{1}G/T_1{G}_m.$$若 ${\mathcal{O}}_m$ 是 $M$ 的嵌入子流形, 那么 $g\mapsto g.m:G/G_m\to {\mathcal{O}}_m$ 为同胚.

定义 5.3 (定义 2.22, 齐性空间). 一个 $G$-齐性空间是具有 $G$ 的一个可迁作用的流形.

例 5.4 (例 2.24). 考虑 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ 在 ${\mathbb{S}}^{n-1}$ 上的作用, ${\mathbb{S}}^{n-1}$ 是齐性空间, 从而我们得到纤维丛

$♡$ 注意到 $(0,\cdots ,0,1)\in {\mathbb{R}}^n$ 的稳定化子是 $\mathrm{SO}(n-1,\mathbb{R})$.

考虑 $\mathrm{SU}(n)$ 在 ${\mathbb{S}}^{2n-1}\subset {\mathbb{C}}^n$ 上的作用, 这也是齐性空间, 从而我们得到纤维丛

$♡$ 注意到 $(0,\cdots ,0,1)\in {\mathbb{C}}^n$ 的稳定化子是 $\mathrm{SU}(n-1)$.

6左, 右及伴随作用

Lie 群在自身之上的三个作用:

•	左作用 $L_g(h)=gh$;
•	右作用 $R_g(h)=h{g}^{-1}$; $♠$ 我觉得应该叫 “左 (右) 平移”, 毕竟它们都是左作用. 这一点和部分其他教材不同.
•	伴随作用 $\mathrm{Ad}g(h)=gh{g}^{-1}=L_g\circ R_g(h)=R_g\circ L_g(h)$.

因为 $\mathrm{Ad}g$ 固定 $1$, 所以它定义了 $G$ 在 $T_{1}G$ 上的作用, 仍记为$$\mathrm{Ad}g:T_{1}G\to T_{1}G.$$

用 $g.v$ 表示 $(L_g{)}_{\ast }v$, 用 $v.g$ 表示 $(R_{g^{-1}}{)}_{\ast }v$.

$♠$ 显示表达为 $(g.v)(x)=g.v(g^{-1}x),(v.g)(x)=v(x{g}^{-1}).g$. 另外, 请注意 $G$ 是作用于切空间上还是向量场上, 我一开始就没有算明白 (Kirillov 书上的记号都是 $v$).

定义 6.1 (定义 2.26). 向量场 $v\in \mathrm{Vect}(G)$ 称作左不变向量场是指 $g.v=v\forall g\in G$, 称作右不变向量场是指 $v.g=v\forall g\in G$. 同时左不变与右不变的向量场称为双不变向量场.

定理 6.2 (定理 2.27). $v\mapsto v(1)$ 定义了左不变向量场构成的线性空间与 $T_1(G)$ 的同构.

定理 6.3 (定理 2.28). $v\mapsto v(1)$ 定义了双不变向量场构成的线性空间与 $(T_{1}G{)}^{\mathrm{Ad}G}$ 的同构, $$(T_{1}G{)}^{\mathrm{Ad}G}=\{x\in T_{1}G:\mathrm{Ad}g(x)=x\forall g\in G\}$$

证明. 对于双不变向量场 $v$, $\mathrm{Ad}g(v(1))=v(g{g}^{-1})=v(1),$ 即 $v(1)\in (T_{1}G{)}^{\mathrm{Ad}G}$.

反过来, 对于 $v_1\in (T_{1}G{)}^{\mathrm{Ad}G}$, 有 $g.v_1.g^{-1}=v_1\forall g\in G$.

$♡$ 因为 $L_g$ 与 $R_g$ 可交换, 所以 $g.v_1.g^{-1}$ 是无歧义的.

定义 $v(h)=h.v_1(h\in G)$, 则对任意 $g\in G$, $$g.(v(h))=g.(h.v_1)=(gh).v_1=v(gh),$$$$v(h).g^{-1}=h.v_1.g^{-1}=(h{g}^{-1}).(g.v_1.g^{-1})=(h{g}^{-1}).v_1=v(h{g}^{-1}).$$即 $v$ 是双不变向量场.

$\square$

7典型群

定义 7.1. 对 $\mathbb{K}=\mathbb{R}\text{或}\mathbb{C}$, 典型群是指

•	$\mathrm{GL}(n,\mathbb{K})$,
•	$\mathrm{SL}(n,\mathbb{K})$,
•	$O(n,\mathbb{K})$,
•	$\mathrm{SO}(n,\mathbb{K})$,
•	$\mathrm{Sp}(n,\mathbb{K}):=\{A\in \mathrm{GL}(2n,\mathbb{K}):\omega (Ax,Ay)=\omega (x,y)\}$, 其中 $\omega (x,y):={\sum }_{j=1}^n{x}_j{y}_{j+n}-y_j{x}_{j+n},$
•	$U(n)$,
•	$\mathrm{SU}(n)$,
•	$\mathrm{Sp}(n):=\mathrm{Sp}(n,\mathbb{C})\cap \mathrm{SU}(2n)$.

$♠$ 值得一提的是, 在小阶典型群之间有许多奇妙的同构 (Borcherds 称之为 “Accidental isomorphism”), 例如 $\mathrm{SU}(2)\simeq {\mathbb{S}}^3,\mathrm{SO}(3)\simeq {\mathbb{R}\mathbb{P}}^3$ 等等. 对于很多情况, 人们尚且不知道其中是否有 “本质” 的联系. 但我们也不敢否定这种 accidental 的事件背后有更深的联系, Borcherds 本人的魔群月光猜想就是一个很好的例子.

8习题

习题 8.1 (习题 2.1). 设 $G$ 是一个 Lie 群, $H$ 是一个闭的 Lie 子群.

1.	记 $\overline{H}$ 为 $H$ 在 $G$ 中的闭包, 证明 $\overline{H}$ 是 $G$ 的子群.
2.	证明每个陪集 $Hx$ 都在 $\overline{H}$ 中既开又稠密, 其中 $x\in \overline{H}$.
3.	证明 $\overline{H}=H$, 从而 $H$ 在 $G$ 中闭.

解.

1.	任取 $a,b\in \overline{H}$. 对 $ab$ 的任意开邻域 $U$, 由乘法映射的连续性, 可取 $a$ 的开邻域 $V$ 与 $b$ 的开邻域 $W$ 使得 $VW\subset U$. 因为 $a,b\in \overline{H}$, 所以存在 $a^{\prime }\in V\cap H,b^{\prime }\in W\cap H$. 那么 $a^{\prime }{b}^{\prime }\in U\cap H$. 这说明 $ab\in \overline{H}$. 任取 $a\in \overline{H}$. 对 $a^{-1}$ 的任意开邻域 $U$, 由取逆映射 $i$ 的连续性, $i(U)$ 是 $a$ 的开邻域. 因为 $a\in \overline{H}$, 所以存在 $a^{\prime }\in i(U)\cap H$. 那么 $(a^{\prime }{)}^{-1}\in U\cap H$. 这说明 $a^{-1}\in \overline{H}$. 综上, $\overline{H}$ 是 $G$ 的子群.
2.	$R_{x^{-1}}:g\mapsto gx$ 是 $G$ 的自同胚, 因此是 $\overline{H}$ 的自同胚. 因为 $H$ 在 $\overline{H}$ 中稠密, 所以 $Hx=R_{x^{-1}}(H)$ 同样在 $\overline{H}$ 中稠密. $♡$ 到此为止只用到了 $G$ 是拓扑群. 由定义, $H$ 是 $G$ 的嵌入子流形. 对任意 $p\in H$, 存在 $p$ 在 $G$ 中的开邻域 $U$, 同胚 $\Phi :U\to V\subset {\mathbb{R}}^n$, 使得 $\Phi (U\cap H)=V\cap ({\mathbb{R}}^d\times 0)(d=\dim H)$. 取闭包, 注意到 $U\cap H$ 在 $U$ 中的闭包等于 $U\cap \overline{H}$, 故得 $\Phi (U\cap \overline{H})=V\cap (\overline{{\mathbb{R}}^d\times 0})=V\cap ({\mathbb{R}}^d\times 0)$. 这说明 $U\cap \overline{H}=U\cap H$. $♡$ 上述论证说明, 嵌入子流形是局部闭的. 注意到 $U\cap \overline{H}$ 为 $\overline{H}$ 的开集, 且 $p\in U\cap H\subset H$. 这说明 $H$ 是 $\overline{H}$ 的开集. 通过 $R_{x^{-1}}$ 的作用, 我们得到 $Hx$ 是 $\overline{H}$ 的开集.
3.	对任意 $x\in \overline{H}$, 假设 $x\notin H$, 那么 $H\cap Hx=\varnothing$, 但是, 由本题第 2 部分, $Hx$ 是 $\overline{H}$ 的开集, 而 $H$ 在 $\overline{H}$ 中稠密, 这不可能. 因此 $\overline{H}=H$.

习题 8.2 (习题 2.3). 设 $f:G_1\to G_2$ 是连通 Lie 群之间的同态, 使得 $f_{\ast }:T_1{G}_1\to T_1{G}_2$ 是同构. 证明 $f$ 是一个覆盖映射, 其核 $\mathrm{Ker}(f)$ 是离散中心子群.

$♠$ 参考香蕉空间上的讨论

解. 由反函数定理, $f$ 是局部同胚, 因此是开映射. 特别地, 存在 $G_1$ 中 $1$ 的开邻域 $U$ 以及 $G_2$ 中 $1$ 的开邻域 $V$, 使得 $f$ 诱导了 $U$ 和 $V$ 之间的同胚. 由于 $G_2$ 连通, $V$ 生成了 $G_2$, 进而 $f$ 是满射. 容易知道, $$f^{-1}(V)=\bigcup _{g\in \mathrm{Ker}(f)}gU$$而这些 $gU$ 是两两不交的开集! 否则设 $g_{1}U\cap g_{2}U\ne \varnothing ,g_1,g_2\in \mathrm{Ker}(f),g_1\ne g_2$, 则可取 $x_1,x_2\in U$ 使得 $g_1{x}_1=g_2{x}_2$. 作用上 $f$ 得 $f(x_1)=f(x_2)$. 又 $f{|}_U$ 是同胚, 故 $x_1=x_2$, 进而 $g_1\ne g_2$, 矛盾.

通过平移, 我们有$$f^{-1}(f(x)U)=\bigcup _{g\in \mathrm{Ker}(f)}gxU$$其中 $gxU$ 是两两不交的开集. 由此结合 $f$ 是满射即可说明 $f$ 是覆盖.

特别地, $\mathrm{Ker}(f)$ 是 $G_1$ 的离散子群. 又 $G_1$ 连通, $\mathrm{Ker}(f)$ 中心.

习题 8.3 (习题 2.4). 记 ${\mathcal{F}}_n(\mathbb{C})$ 为 ${\mathbb{C}}^n$ 中所有旗帜构成的空间, 证明$${\mathcal{F}}_n(\mathbb{C})=\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})/B(n,\mathbb{C})=U(n)/T(n)$$其中 $B(n,\mathbb{C})$ 是 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ 的上三角子群, $T(n)$ 是对角酉矩阵群 (同构于 $n$ 维环面 $(\mathbb{R}/\mathbb{Z}{)}^n$). 由此推出 ${\mathcal{F}}_n(\mathbb{C})$ 是一个紧的复流形, 并计算其维数.

$♠$ 梗概: 第一个等号由可迁的作用给出, 第二个等号由 QR 分解或 Gram–Schimdt 正交化给出. 利用 $U(n)$ 和 $T(n)$ 的复结构给出 ${\mathcal{F}}_n(\mathbb{C})$ 的复结构. 如果我没有算错, 复维数是 $\frac{n^2-n}{2}$.

习题 8.4 (习题 2.5). 记 $G_{n,k}$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 的所有 $k$ 维子空间构成的集合 (通常称为 Grassmann 流形). 证明,$G_{n,k}$ 是 $O(n,\mathbb{R})$ 作用下的齐性空间, 因此可以找到适当的 $H$, 将 $G_{n,k}$ 等同于 $O(n,\mathbb{R})/H$. 由此证明 $G_{n,k}$ 是个流形并计算其维数.

$♠$ 如果我没算错, $H=O(k,\mathbb{R})\times O(n-k,\mathbb{R})$, 维数为 $k(n-k)$.

习题 8.5 (习题 2.6). 视 $G=\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})\subset \mathrm{End}({\mathbb{R}}^n)$ 为子流形, 则每个切空间都 “典范地” 等同于 $\mathrm{End}({\mathbb{R}}^n)$. 验证此时 $(L_g{)}_{\ast }v=gv$, 其中右边就是通常的矩阵乘法. 对右平移有类似等式. 同样地, 伴随作用由矩阵乘法 $\mathrm{Ad}g(v)=gv{g}^{-1}$ 给出.

解. 只证明左平移情况, 其余类似. 根据矩阵指数映射的性质和矩阵的求导法则, $$(L_g{)}_{\ast }v=\frac{d}{dt}g\exp (tv){|}_{t=0}=gv$$得证.

习题 8.6 (习题 2.7-2.10). (关于 $\mathrm{SU}(2)$ 及其伴随表示)

1.	定义 $\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)$ 上的双线性型$$(a,b)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}(a{\overline{b}}^t),$$证明这是一个对称正定双线性型, 且在 $\mathrm{SU}(2)$ 的伴随作用下不变.
2.	定义 $\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)$ 的一组基$$i{\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right),i{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),i{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right).$$证明在这组基下, 映射$$\phi :g\mapsto \mathrm{Ad}g\text{的矩阵}$$给出 Lie 群同态 $\mathrm{SU}(2)\to \mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$.
3.	计算切映射 ${\phi }_{\ast }:\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)\to \mathfrak{s}\mathfrak{o}(3,\mathbb{R})$, 并证明其为线性同构.
4.	说明 $\phi$ 建立了 Lie 群同构 $\mathrm{SU}(2)/{\mathbb{Z}}_2\to \mathrm{SO}(3,\mathbb{R}).$ 从而, 因为 $\mathrm{SU}(2)\simeq {\mathbb{S}}^3$, 我们得到 $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})\simeq {\mathbb{R}\mathbb{P}}^3$.

解.

1.	对称: $\mathrm{tr}(b{\overline{a}}^t)=\mathrm{tr}(\overline{a}{b}^t)=\overline{\mathrm{tr}(a{\overline{b}}^t)}$. 正定: $\mathrm{tr}(a{\overline{a}}^t)={\sum }_{1\le j,k\le n}|a_{jk}{|}^2$. 不变: $\mathrm{tr}(ga{g}^{-1}\cdot {\overline{ga{g}^{-1}}}^t)=\mathrm{tr}(ga{g}^{-1}g{\overline{a}}^t{g}^{-1})=\mathrm{tr}(a{\overline{a}}^t)$.
2.	验证知 $i{\sigma }_1,i{\sigma }_2,i{\sigma }_3$ 构成上面定义的内积下的正交基. 换句话说, $$xi{\sigma }_1+yi{\sigma }_2+zi{\sigma }_3\leftrightarrow (x,y,z)$$给出内积空间的同构 $(\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2),(-,-))\simeq ({\mathbb{R}}^3,\cdot )$. 由第一部分的结论, $\mathrm{Ad}g$ 保持 $\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)$ 上的内积, 因此其矩阵保持 ${\mathbb{R}}^3$ 上的内积, 也就是 $\phi (g)\in \mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$.
3.	$\phi$ 的具体表达式为$$\begin{array}{rl}& \phi (a\mathrm{i}\mathrm{d}+di{\sigma }_1+ci{\sigma }_2+bi{\sigma }_3)=\phi \left(\left(\begin{array}{cc}a+bi& c+di\\ -c+di& a-bi\end{array}\right)\right)=\\ & \left(\begin{array}{ccc}{a}^2-b^2-c^2+d^2& 2(ab+cd)& 2(bd-ac)\\ 2(cd-ab)& a^2-b^2+c^2-d^2& 2(ad+bc)\\ 2(ac+bd)& 2(bc-ad)& a^2+b^2-c^2-d^2\end{array}\right).\end{array}$$ $♡$ 注意这个问题中 $i{\sigma }_1,i{\sigma }_2,i{\sigma }_3$ 扮演了多重角色, 既是 Lie 代数 $\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)$ 的基, 又是 $\mathrm{SU}(2)$ 的元素; 另外, 考虑 $\mathrm{i}\mathrm{d},i{\sigma }_1,i{\sigma }_2,i{\sigma }_3$ 张成的 $4$ 维 $\mathbb{R}$ 线性空间, 则 $SU(2)$ 是这个空间的单位球面. 由此, 分别对 $d,c,b$ 求偏导得到$$\begin{array}{rl}{\phi }_{\ast }(i{\sigma }_1)& =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& -2& 0\end{array}\right)\\ {\phi }_{\ast }(i{\sigma }_2)& =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 0& 0& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right),\\ {\phi }_{\ast }(i{\sigma }_3)& =\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ -2& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).\end{array}$$此三者恰为 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3,\mathbb{R})$ 的基.

习题 8.7 (习题 2.11). 使用例子 5.4, 说明

•	${\pi }_0(\mathrm{SU}(n+1))={\pi }_0(\mathrm{SU}(n)),{\pi }_0(U(n+1))={\pi }_0(U(n))(n\ge 1)$;
•	${\pi }_1(\mathrm{SU}(n+1))={\pi }_1(\mathrm{SU}(n)),{\pi }_1(U(n+1))={\pi }_1(U(n))(n\ge 2)$;

从而说明对于 $n\ge 2$, $\mathrm{SU}(n)$ 单连通而 ${\pi }_1(U(n))=\mathbb{Z}$.

解. 当 $m<n$ 时, 任意映射 ${\mathbb{S}}^m\to {\mathbb{S}}^n$ 零伦. 因此 ${\pi }_m({\mathbb{S}}^n)=1$.

$♡$ 上述的零伦是 胞腔逼近定理的特例; 参见用户: Jin1/胞腔逼近定理, 或 A.Hatcher, Algebraic Topology 4.1 节 Cellular Approximation 部分, 或 维基百科.

纤维丛 $\mathrm{SU}(n)\to \mathrm{SU}(n+1)\to {\mathbb{S}}^{2n+1}$ 给出长正合列$$\begin{array}{rl}\cdots \to {\pi }_2({\mathbb{S}}^{2n+1})& \to {\pi }_1(\mathrm{SU}(n))\to {\pi }_1(\mathrm{SU}(n+1))\to {\pi }_1({\mathbb{S}}^{2n+1})\\ & \to {\pi }_0(\mathrm{SU}(n))\to {\pi }_0(\mathrm{SU}(n+1))\to 1,\end{array}$$因此有$$\begin{array}{rl}{\pi }_0(\mathrm{SU}(n+1))& ={\pi }_0(\mathrm{SU}(n))(n\ge 1),\\ {\pi }_1(\mathrm{SU}(n+1))& ={\pi }_1(\mathrm{SU}(n))(n\ge 2).\end{array}$$

对于 $U(n)$ 的结论, 只需注意到 $U(n)\simeq {\mathbb{S}}^1\times SU(n)$ 而 ${\pi }_m({\mathbb{S}}^1)=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& m=1\\ 1& m>1\end{array}$.

习题 8.8. 使用 Gram–Schimdt 正交化证明 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})/O(n,\mathbb{R})$ 微分同胚于主对角线为正实数的上三角矩阵构成的空间. 由此证明 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 作为拓扑空间同伦于 $O(n,\mathbb{R})$.

$♠$ 见我在推论 2.4后的注.

习题 8.9 (习题 2.14). 若 ${\mathbb{R}}^{2n}$ 的 $n$ 维子空间 $V$ 满足 $\omega (x,y)=0\forall x,y\in V$, 则称其为 Lagrange 子空间. ($\omega$ 的表达式见定义 7.1.) 记 $L_n$ 为 Lagrange 子空间的集合. 说明 $Sp(n,\mathbb{R})$ 可迁地作用在 $L_n$ 上, 由此定义 $L_n$ 的微分流形结构, 并求其维数.

解. 由线性代数, Lagrange 子空间 $V$ 的一组基 $e_1,\cdots ,e_n$ 可被扩充为 ${\mathbb{R}}^{2n}$ 的辛基 $e_1,\cdots ,e_n,f_1,\cdots ,f_n$. 所谓辛基是指, 对 $1\le i,j\le n$, $$\omega (e_i,f_j)={\delta }_{ij},\omega (e_i,e_j)=0=\omega (f_i,f_j).$$两组辛基确定了一个辛变换, 这说明 $\mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})$ 在 $L_n$ 上的作用是可迁的.

$♡$ 似乎书上没有由 Lie 群的作用定义微分流形结构的结论, 都是已经有了流形结构再谈作用. 我还没有找到这个问题的做法.

$♠$ 参考旗帜空间的做法.