用户: Fyx1123581347/云

云 0.1. 注意到$$\dim (U+V)=\dim U+\dim V-\dim U\cap V$$我们有容斥原理$$\begin{array}{rl}\dim (U+V+W)& =\dim U+\dim V+\dim W\\ & -\dim (U\cap V)-\dim (V\cap W)-\dim (W\cap U)\\ & +\dim (U\cap V\cap W).\end{array}$$

云 0.2. 由于$$\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA),$$根据数学归纳法, 对 $\tau \in S_k$, $$\mathrm{Tr}(A_1\cdots A_k)=\mathrm{Tr}(A_{\tau (1)}\cdots A_{\tau (k)}).$$

云 0.3. 设 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为函子, 则 $F$ 的像为 $\mathcal{D}$ 的子范畴.

证明. 由于 $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$, 我们仍有复合运算. 结合律与单位元显然.

$\square$

云 0.4. 我们来计算 $p$ 元有限域上 $n$ 次不可约多项式的个数 $P(d)$, 有$$P(d)=\frac{\varphi (p^n-1)}{n}.$$

证明. 不可约的 $n$ 次多项式都是 $x^{p^n-1}-1$ 的因子.

$\square$