用户: Fyx1123581347/寒假讨论班讲义/数的几何

1格

设 $V$ 为 $n$ 维实向量空间. 格为由线性无关的元素生成的子群. 完备格即为一组基生成的子群.

定理 1.1. $V$ 的子群是格当且仅当其为离散子群.

定理 1.2. $V$ 中的格 $\Gamma$ 是完备的当且仅当存在有界集 $M\subseteq V$ 使得 $M$ 的平移覆盖了 $V$. 换言之, 当且仅当 $V/\Gamma$ 为紧集.

$V$ 上的一个内积给出度量, 正交基的体积是 $1$. 若 $\Phi$ 为 $v_i$ 张成的平行多面体, 则$$\mathrm{vol}(\Phi )=\left|\det A\right|={\left|\det (⟨v_i,v_j⟩)\right|}^{1/2}.$$

定理 1.3 (Minkowski). 设 $\Gamma$ 是完备格, 且 $X$ 为中心对称的凸集. 若$$\mathrm{vol}(X)>2^n\mathrm{vol}(\Gamma )$$则 $X$ 有 $\Gamma$ 中的非零格点.

注 1.4. 如果 $X$ 为紧集, 结论在等号下仍成立.

推论 1.5. 设有线性型$$L_i(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{x}_j,i=1,\dots ,n,$$其中 $\det (a_{ij})\ne 0$. 若 $c_1,\dots ,c_n$ 为正实数, 且 $c_1\cdots c_n>\left|\det (a_{ij})\right|$, 则存在整数 $m_1,\dots ,m_n$ 满足$$\left|L_i(m_1,\dots ,m_n)\right|<c_i,i=1,\dots ,n.$$

2Minkowski 理论

设 $K$ 为数域, 考虑 $K_{\mathbb{C}}=K{\otimes }_{\mathbb{Q}}\mathbb{C}\simeq {\mathbb{C}}^n$, $K$ 到 $K_{\mathbb{C}}$ 的典范嵌入可以如下显式地描述:$$a\to ja=(\tau a)$$其中 $\tau$ 是 $K$ 到 $\mathbb{C}$ 的 $n$ 个嵌入.

$K_{\mathbb{R}}=K{\otimes }_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$ 是 $K_{\mathbb{C}}$ 的 $\mathbb{R}$-子空间, 其为 $\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ 作用的不动点.

在 ${\mathbb{C}}^n$ 上自然有典范的 Hermitian 型, 其限制在 $K_{\mathbb{R}}$ 上给出一个内积.

命题 2.1. 若 $\mathfrak{a}\ne 0$ 为整理想, 则 $\Gamma =j\mathfrak{a}$ 为 $K_{\mathbb{R}}$ 中的完备格, 其基本域的体积为$$\mathrm{vol}(\Gamma )=\sqrt{\left|d_K\right|}\mathfrak{N}(\mathfrak{a}).$$

定理 2.2. 设 $\mathfrak{a}\ne 0$ 为整理想, $c_{\tau }>0$, 且 $c_{\tau }=c_{\overline{\tau }}$, 其中 $\tau \in \mathrm{Hom}(K,\mathbb{C})$, 且$$\prod _{\tau }{c}_{\tau }>(\frac{2}{\pi }{)}^s\sqrt{\left|d_K\right|}\mathfrak{N}(\mathfrak{a}),$$则存在 $a\in \mathfrak{a},a\ne 0$ 使得$$\left|\tau a\right|<c_{\tau }.$$

我们也有乘法形式的 Minkowski 空间. 考虑同态$$\ell :{\mathbb{C}}^{\ast }\to \mathbb{R},z⟼\log \left|z\right|.$$有交换图$$K^{\ast }{K}_{\mathbb{C}}^{\ast }{\prod }_{\tau }\mathbb{R}{\mathbb{Q}}^{\ast }{\mathbb{C}}^{\ast }\mathbb{R}j{N}_{K|\mathbb{Q}}\ell NTr\ell$$这些映射都与共轭作用协调, 因此有$$K^{\ast }{K}_{\mathbb{R}}^{\ast }{\left[{\prod }_{\tau }\mathbb{R}\right]}^{+}{\mathbb{Q}}^{\ast }{\mathbb{R}}^{\ast }\mathbb{R}j{N}_{K|\mathbb{Q}}\ell NTr\ell$$我们有同态$$\ell :K_{\mathbb{R}}^{\ast }\to {\mathbb{R}}^{r+s}$$$$\ell (x)=(\log \left|x_{{\rho }_1}\right|,\dots ,\log \left|x_{{\rho }_r}\right|,\log {\left|x_{{\sigma }_1}\right|}^2,\dots ,\log {\left|x_{{\sigma }_s}\right|}^2).$$

我们更常使用的同构是$$K{\otimes }_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}\simeq \prod _{\mathfrak{p}\mid \infty }{K}_{\mathfrak{p}}.$$其上的内积为$$⟨x,y⟩=\sum _{\mathfrak{p}\text{real}}{x}_{\mathfrak{p}}{y}_{\mathfrak{p}}+\sum _{\mathfrak{p}\text{complex}}{x}_{\mathfrak{p}}{\overline{y}}_{\mathfrak{p}}+{\overline{x}}_{\mathfrak{p}}{y}_{\mathfrak{p}}.$$对数映射为$$\ell :\prod _{\mathfrak{p}\mid \infty }{K}_{\mathfrak{p}}^{\ast }⟶\prod _{\mathfrak{p}\mid \infty \mathbb{R}},x⟼\left(\log {\left|x_{\mathfrak{p}}\right|}_{\mathfrak{p}}\right).$$

3Arakelov 除子

对无穷素数 $v$, 我们令$$\kappa (\mathfrak{p})=K_{\mathfrak{p}}$$对每个素数 $\mathfrak{p}$ 我们给对应的正规化赋值 $v_{\mathfrak{p}}:K^{\times }\to \mathbb{R}$. 有限素数就是正规化的离散赋值, 对无限素数 $\mathfrak{p}$, 我们令$$v_{\mathfrak{p}}(a)=-\log \left|\tau (a)\right|.$$其中 $\tau$ 是 $\mathfrak{p}$ 对应的嵌入.

对 $\mathfrak{p}|p$, 令$$f_{\mathfrak{p}}=[\kappa (\mathfrak{p}):\kappa (p)],$$$$\mathfrak{N}(\mathfrak{p})=p^{f_p},$$我们做如下约定: 对无穷素数 $\mathfrak{p}$ 以及实数 $\nu$,$${\mathfrak{p}}^{\nu }=e^{\nu }.$$取正规化的绝对值$${\left|a\right|}_{\mathfrak{p}}=\mathfrak{N}(\mathfrak{p}{)}^{-v_{\mathfrak{p}}(a)}$$我们认为 $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 是非分歧的.

命题 3.1. ${\left|a\right|}_{\mathfrak{P}}={\left|N_{L_{\mathfrak{P}}|K_{\mathfrak{p}}}(a)\right|}_{\mathfrak{p}}$.

命题 3.2. ${\prod }_{\mathfrak{p}}{\left|a\right|}_{\mathfrak{p}}=1$.

令 $J(\mathcal{O})$ 为 $K$ 的分式理想群, $P(\mathcal{O})$ 为主分式理想,$$Pic(\mathcal{O})=J(\mathcal{O})/P(\mathcal{O})$$为理想类群 $C{l}_K$.

定义 3.3. 一个充足理想为如下群中的一个元素$$J(\overline{\mathcal{O}})=J(\mathcal{O})\times \prod _{\mathfrak{p}|\infty }{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }.$$

我们可以写 $\mathfrak{a}={\mathfrak{a}}_{\mathrm{f}}\cdot {\mathfrak{a}}_{\infty }$.

对 $a\in K^{\times }$, 我们有充足主理想$$[a]=\prod _{\mathfrak{p}}{\mathfrak{p}}^{v_{\mathfrak{p}}(a)}.$$对应商群称为充足理想类群.

定义 3.4. 充足理想的绝对范数为$$\mathfrak{N}(\mathfrak{a})=\prod _{\mathfrak{p}}\mathfrak{N}(\mathfrak{p}{)}^{v_{\mathfrak{p}}}$$

绝对范数定义了 $J(\overline{\mathcal{O}})$ 到 $R_{+}^{\ast }$ 的满同态, 根据乘积公式, 它穿过充足皮卡群.

我们下面考虑充足理想在扩张下的性质. 设 $L/K$ 为数域的扩张, 则有同态$$i_{L|K}(\prod _{\mathfrak{p}}{\mathfrak{p}}^{v_{\mathfrak{p}}})=\prod _{\mathfrak{p}}\prod _{\mathfrak{P}|\mathfrak{p}}{\mathfrak{P}}^{e_{\mathfrak{P}|\mathfrak{p}}{v}_{\mathfrak{p}}}$$$$N_{L|K}(\prod _{\mathfrak{P}}{\mathfrak{P}}^{v_{\mathfrak{P}}})=\prod _{\mathfrak{p}}\prod _{\mathfrak{P}|\mathfrak{p}}{\mathfrak{p}}^{f_{\mathfrak{P}|\mathfrak{p}}{v}_{\mathfrak{P}}}$$

命题 3.5.

1.	$i$,$N$ 是传递的.
2.	$N_{L|K}(i_{L|K}\mathfrak{a})={\mathfrak{a}}^{[L:K]}$.
3.	$\mathfrak{N}(N_{L|K}(\mathfrak{A}))=\mathfrak{N}(\mathfrak{A})$.
4.	如果 $L|K$ 为 Galois 扩张, Galois 群为 $G$, 则 $N_{L|K}(\mathfrak{P}){\mathcal{O}}_L={\prod }_{\sigma \in G}\sigma \mathfrak{P}$.
5.	对充足主理想 $[a]$, $$i_{L|K}([a])=[a],N_{L|K}([a])=[N_{L|K}(a)].$$
6.	$N_{L|K}({\mathfrak{A}}_{\mathrm{f}})=N_{L|K}(\mathfrak{A}{)}_{\mathrm{f}}$ 是所有 $N_{L|K}(a)$ 生成的理想, 其中 $a\in {\mathfrak{A}}_{\mathrm{f}}$.

定义 3.6. $K$ 的充足除子是如下的形式和$$D=\sum _{\mathfrak{p}}{v}_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}$$其中对 $\mathfrak{p}\nmid \infty$, $v_{\mathfrak{p}}\in \mathbb{Z}$; 对 $\mathfrak{p}|\infty$, $v_{\mathfrak{p}}\in \mathbb{R}$. 即$$Div(\overline{\mathcal{O}})=Div(\mathcal{O})\times \underset{\mathfrak{p}\mid \infty }{⨁}\mathbb{R}\mathfrak{p}.$$

在 $Div(\mathcal{O})$ 上我们赋予离散拓扑, 在 ${⨁}_{\mathfrak{p}\mid \infty }\mathbb{R}\mathfrak{p}$ 上我们赋予典范拓扑, 这使得 $Div(\overline{\mathcal{O}})$ 成为局部紧拓扑群.

我们有典范的同态$$\mathrm{div}:K^{\times }\to Div(\overline{\mathcal{O}}),\mathrm{div}(f)=\sum _{\mathfrak{p}}{v}_{\mathfrak{p}}(f)\mathfrak{p}.$$其像称为充足主除子.

命题 3.7. $\mathrm{div}:K^{\ast }\to Div(\overline{\mathcal{O}})$ 的核是 $n$ 次单位根群 ${\mu }_K$, 其像是 $Div(\mathcal{O})$ 的离散子群.

定义 3.8. $C{H}^1(\overline{\mathcal{O}})=Div(\overline{\mathcal{O}})/\mathcal{P}(\overline{\mathcal{O}})$ 称为充足除子类群.

$C{H}^1(\overline{\mathcal{O}})$ 是局部紧 Hausdorff 拓扑群, 它将是函数域的除子群的正确类比. 我们定义连续的 degree 映射:$$\mathrm{deg}:Div(\overline{\mathcal{O}})⟶\mathbb{R}$$将除子 $D={\sum }_{\mathfrak{p}}{v}_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}$ 映为实数$$\mathrm{deg}(D)=\sum _{\mathfrak{p}}{v}_{\mathfrak{p}}\log \mathfrak{N}(\mathfrak{p}).$$由于其在主除子上取值为 $0$, 这个同态穿过$$\mathrm{deg}:C{H}^1(\overline{\mathcal{O}})⟶\mathbb{R}.$$其核记为 $C{H}^1(\overline{\mathcal{O}}{)}^0$.

命题 3.9. 令 $\Gamma =\lambda (\mathcal{O}{)}^{\ast }$ 为单位群在迹零空间 $H$ 中的像, 则有正合列$$0H/\Gamma C{H}^1(\overline{\mathcal{O}}{)}^{0}C{H}^1(\mathcal{O})0.$$

定理 3.10. $C{H}^1(\overline{\mathcal{O}}{)}^0$ 是紧的.

注 3.11. 这等价于类数有限及单位定理. 注意到 $C{H}^1(\mathcal{O})$ 赋予的是离散拓扑, 因此它是紧的当且仅当为有限集.

我们有同构$$\mathrm{div}:J(\overline{\mathcal{O}})⟶Div(\overline{\mathcal{O}}),\mathrm{div}(\prod _{\mathfrak{p}}{\mathfrak{p}}^{v_{\mathfrak{p}}})=\sum _{\mathfrak{p}}-v_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p},$$$$Div(\overline{\mathcal{O}})⟶J(\overline{\mathcal{O}}),\sum _{\mathfrak{p}}{v}_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}⟼\prod _{\mathfrak{p}}{\mathfrak{p}}^{-v\mathfrak{p}}.$$且$$\mathrm{deg}(\mathrm{div}(\mathfrak{a}))=-\log \mathfrak{N}(\mathfrak{a}).$$

命题 3.12. $\mathrm{div}$ 诱导出了同构$$\mathrm{div}:Pic(\overline{\mathcal{O}})\stackrel{\sim }{⟶}C{H}^1(\overline{\mathcal{O}}).$$

4伊代尔群

对有限素数集合 $S$, 令$$I_K^S=\prod _{\mathfrak{p}\in S}{K}_{\mathfrak{p}}^{\ast }\times \prod _{\mathfrak{p}\notin S}{U}_{\mathfrak{p}}.$$对实素数 $\mathfrak{p}$, $U_{\mathfrak{p}}$ 为何有不同的约定, 好在我们通常取含所有无穷素数的 $S$. 我们定义$$K^S=K^{\ast }\cap I_K^S$$为 $S$-单位.

定理 4.1. 设 $S$ 含所有无穷素数, 则同态$$\lambda :K^S\to \prod _{\mathfrak{p}\in S}\mathbb{R},\lambda (a)={\left(\log {\left|a\right|}_{\mathfrak{p}}\right)}_{\mathfrak{p}\in S}$$的核为 ${\mu }_K$, 且像为 $H$ 中的完备格, 其中 $H$ 是维数为 $|S|-1$ 的迹零空间.

我们有伊代尔群到理想群与充足理想群的满射:$$I_K⟶J_K,\alpha ⟼\prod _{\mathfrak{p}\nmid \infty }{\mathfrak{p}}^{v_{\mathfrak{p}}({\alpha }_{\mathfrak{p}})},$$$$I_K⟶J(\overline{\mathcal{O}}),\alpha ⟼\prod _{\mathfrak{p}}{\mathfrak{p}}^{v_{\mathfrak{p}}({\alpha }_{\mathfrak{p}})}.$$前者的核为 $I_K^{S_{\infty }}$, 后者的核为$$I_K^0=\{({\alpha }_{\mathfrak{p}})\in I_K|{\left|{\alpha }_{\mathfrak{p}}\right|}_{\mathfrak{p}}=1,\text{对所有}\mathfrak{p}\}.$$两者都将主伊代尔映到主理想, 因此诱导了理元类群到理想类群的满射. 伊代尔 $\alpha$ 的绝对范数定义为$$\mathfrak{N}(\alpha )=\prod _{\mathfrak{p}}\mathfrak{N}(\mathfrak{p}{)}^{v_{\mathfrak{p}}({\alpha }_{\mathfrak{p}})}=\prod _{\mathfrak{p}}{\left|{\alpha }_{\mathfrak{p}}\right|}_{\mathfrak{p}}^{-1}.$$其核记为 $I_K^1$. 令 $C_K^1=I_K^1/K^{\times }$.

定理 4.2. $C_K^1$ 是紧的.

证明. 我们有正合列$$1I_K^0/\mu (K)C_K^{1}Pic(\overline{\mathcal{O}}{)}^{0}1.$$根据 Tychonoff 定理, $I_K^0$ 是紧的, 因此 $C_K^1$ 作为紧群的扩张是紧的.

$\square$

注 4.3. 也可以直接证明 $C_K^1$ 的紧性.