用户: Fyx1123581347/寒假讨论班讲义/Serre–Swan

设 $M$ 为光滑流形, 即有光滑结构的 Hausdorff, 第二可数拓扑流形. 令 $A=C^{\infty }(M)$, 我们来证明当 $M$ 连通时有范畴等价:$$\{\text{M上的光滑向量丛}\}\simeq \text{{A上的有限生成投射模}\}.$$

1代数证明

我们叙述两个方向的函子: $$E⟼\Gamma (E),$$$$P⟼f^{\ast }(\tilde{P}).$$其中 $\Gamma (E)$ 为整体截面, $f^{\ast }(\tilde{P})$ 的含义需要稍后澄清. 我们先做一个简单的观察, 即$$\{\text{M上秩为n的光滑向量丛}\}\simeq \text{{OM上的秩为n的自由层}\},$$其中 ${\mathcal{O}}_M$ 为 $M$ 上的光滑函数环层 (除非另外声明, 这总是 $M$ 上指定的的赋环空间结构). 事实上, 两者都由 $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,{\mathcal{O}}_M)$ 的一个 cocycle 给出. 从向量丛到局部自由层的函子为$$E⟼\mathcal{E},\mathcal{E}(U)=\Gamma (U,E).$$我们因而等同向量丛与常秩局部自由层.

考虑 $X=\mathrm{Spec}(A)$, 则有自然的映射$$f:M⟶X,f(x)={\mathfrak{m}}_x.$$由于 $M$ 中的任何闭集总是一个光滑函数的零点集, $f$ 是一个拓扑嵌入 (实际上 $M$ 恰为 $A$ 的 $\mathbb{R}$ 值点, 但我们不需要这个事实). 对于模 $P$, $\tilde{P}$ 为 $P$ 对应的拟凝聚层, $f^{\ast }$ 为拉回层. 我们来说明 $f^{\ast }\simeq f^{-1}$.

命题 1.1. 设 $E$ 为 $M$ 上光滑向量丛, 则对任意 $x\in M$, 我们有自然的同构$$\Gamma (E{)}_{{\mathfrak{m}}_x}\stackrel{\simeq }{⟶}{\mathcal{E}}_x,$$$$m/s⟼s^{-1}\cdot m.$$前者是在 ${\mathfrak{m}}_x$ 处的局部化, 后者则是层 $\mathcal{E}$ 的茎.

证明. 若 $s^{-1}\cdot m$ 在 $x$ 的一个邻域 $U$ 上为 $0$, 取 $\mathrm{supp}\varphi \subset U,\varphi (x)=1$, 则 $\varphi \cdot m=0$, 因此 $m/s=0$.

反之, 对任何 $\alpha \in {\mathcal{E}}_x$, 设 $(a,V)$ 为其代表元, 取光滑函数 $\psi$ 满足 $\mathrm{supp}\psi \subset V$, 且 $\psi$ 在 $x$ 的某个更小的邻域上恒为 $1$, 则 $\psi \cdot a⟼\alpha$.

$\square$

推论 1.2. 对向量丛 $E$, 作为 Abel 群层, 我们有$$f^{-1}(\widetilde{\Gamma (E)})\simeq \mathcal{E}.$$

证明. 记 $\widetilde{\Gamma (E)}=\mathcal{F}$, 对 $V\subset f(U)$, 我们有自然的映射$$\mathcal{F}(V)⟶\mathcal{E}(U)$$$$s⟼(x⟼s({\mathfrak{m}}_x)\mathrm{mod}{\mathfrak{m}}_x)$$这诱导了映射$$f^{-1}(\mathcal{F})⟶\mathcal{E}.$$并且, 在茎上的映射就是命题1.1中的同构, 因此两者同构.

$\square$

命题 1.3. $f^{-1}({\mathcal{O}}_X)\simeq {\mathcal{O}}_M$.

证明. 对平凡丛 $M\times \mathbb{R}$ 使用推论1.2.

$\square$

命题 1.4. $f^{\ast }(\widetilde{\Gamma (E)})\simeq \mathcal{E}$.

我们注意到任何 ${\mathcal{O}}_M$ 模都是 fine sheaf, 因此是零凋的. 特别地, 在 ${\mathcal{O}}_M$-模范畴中, 截面函子是正合的.

命题 1.5. 对有限展示的模 $P$, 有$$\Gamma (M,f^{\ast }(\tilde{P}))\simeq P.$$

证明. 记 $G(P)=\Gamma (M,f^{\ast }(\tilde{P}))$, 因拉回与截面均正合, $G$ 是正合函子. 对 $P=A$, 根据1.3, 结论成立, 进而对 $P$ 为有限秩自由模, 结论成立. 设有正合列$$A^m{A}^{n}P0,$$同时作用 $F$, 仍有1.2中的自然映射, $$A^m{A}^{n}P0G(A^m)G(A^n)G(P)0\simeq \simeq ,$$右边的箭头作为余核是同构.

$\square$

推论 1.6. 对有限生成投射模 $P$, $f^{\ast }(\tilde{P})$ 为向量丛, 其整体截面为 $P$.

证明. 有限生成投射模是有限展示, 局部自由的.

$\square$

命题 1.7. 局部自由层是 ${\mathcal{O}}_M$-模中的投射对象.

证明. 对 ${\mathcal{O}}_M$-模 $A,B$, 根据 Grothendieck 谱序列, 我们有正合列$$H^1(\mathcal{H}om(A,B)){\mathrm{Ext}}^1(A,B)H^0({\mathcal{E}xt}^1(A,B))$$若 $A$ 局部自由, 则 ${\mathcal{E}xt}^1(A,B)=0$. 又 $H^1=0$, 因此 ${\mathrm{Ext}}^1(A,B)=0$, 故 $A$ 为投射对象.

$\square$

命题 1.8. $M$ 上任何有限秩向量丛都是某个 Grassmann 流形上重言丛的拉回.

命题 1.9. 设 $M$ 为 $n$ 维流形, $E$ 是秩为 $k$ 的向量丛, 则 $\Gamma (E)$ 可以被不超过 $N(n,k)$ 个元素生成, 其中$$N(n,k)=k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2(n+k)}{k}\right).$$

推论 1.10. 向量丛的整体截面为有限生成投射模.