用户: Fyx1123581347/局部同调猜想/弱函子性Cohen–Macaulay代数

1正特征: 绝对整闭包

在正特征的情形, 大 Cohen–Macaulay 代数可以更明显的构造. 这里的证法是在 [??] 中学来的.

命题 1.1. 设 $R$ 是正特征的半局部整环, 且存在 $A\to R$ 为有限同态, $A$ 为 Gorenstein 局部环. 那么 $R$ 的绝对整闭包 $R^{+}$ 是 $R$ 上的大 Cohen–Macaulay 代数.

为此我们做一些关于绝对整闭包的讨论. 设 $R$ 为整环, 所谓 $R$ 的扩环是环单射 $R\to S$, 且 $S$ 为整环.

命题 1.2. 设 $R$ 是整环, $W$ 是不含零的乘法子集.

1.	若 $T$ 是 $W^{-1}R$ 的扩环, 且 $u\in T$ 在 $W^{-1}R$ 上为整元素, 那么存在 $w\in W$ 使得 $wu$ 在 $R$ 上为整元素.
2.	设 $T$ 是 $R$ 的有限 (或者整) 的扩环, 那么存在 $R$ 的有限 (或者整) 的扩环 $S$, 使得 $T=W^{-1}S$.
3.	$W^{-1}(R^{+})$ 是 $W^{-1}R$ 的绝对整闭包.
4.	设 $I$ 是 $R$ 的理想, 那么$$I(W^{-1}{R}^{+})\cap W^{-1}R=W^{-1}(I{R}^{+}\cap R).$$

证明. 1. 将 $u$ 的整关系乘以 $W$ 中的系数即可.
2. 取 $T$ 在 $R$ 上的生成元 $t_i$, 以及 $w_i\in W$ 使得 $t_i{w}_i$ 在 $R$ 上整, 取 $S$ 是由 $R$ 和 $t_i{w}_i$ 生成的子环即可.
3. 因为局部化与整闭包是交换的.
4. 显然由 $\supseteq$. 另一方面, 假设 $u\in I(W^{-1}{R}^{+})=I(W^{-1}R{)}^{+}$, 同 (1) 的证明可以取 $w\in W$ 使得 $wu\in I{R}^{+}$. 设 $u=r/w^{\prime }$, 那么 $w{w}^{\prime }u\in I{R}^{+}\cap R$, 从而 $u\in W^{-1}(I{R}^{+}\cap R)$.

$\square$

定理 1.3. 设 $R$ 是正特征的局部整环, 且 Gorenstein 局部环 $(A,\mathfrak{m},k)$ 使得 $A\to R$ 为有限同态. 令 $\mathfrak{A}=\mathrm{rad}(R)=\sqrt{\mathfrak{m}R}$, $d=\dim R$, 那么存在 $R$ 的有限扩环 $S$ 使得对任何 $i<d$, 都有 $H_{\mathfrak{m}}^i(R)\to H_{\mathfrak{m}}^i(S)$ 为零.

注 1.4. 设 $\mathfrak{B}=\mathrm{rad}(S)$, 以上结果也可以不依赖于 $A$ 地陈述为 $H_{\mathfrak{A}}^i(R)\to H_{\mathfrak{B}}^i(S)$ 为零.

证明. 只需要对固定的 $i<d$ 证明这个命题, 此后不断再扩张 $S$ 即可.

设 $n$ 为 Gorenstein 局部环 $A$ 的维数, $\mathfrak{p}$ 是 $R\to S$ 的核. 由于 $R$ 是 $A/\mathfrak{p}$ 的有限扩环, $\mathrm{ht}\mathfrak{p}=n-\dim A/\mathfrak{p}=n-d$. 根据局部对偶, 这等价于要求$${\mathrm{Ext}}_A^{n-i}(S,A)\to {\mathrm{Ext}}_A^{n-i}(R,A)\text{\hspace{1em}(*)}$$为零. 设 $V_S\subseteq N:={\mathrm{Ext}}_A^{n-i}(R,A)$ 为 $\ast$ 中映射的像. 我们对 $\dim R$ 归纳将命题约化到 $N$ 的长度有限的情形.

假设 $P_1,\dots ,P_c$ 是 $V_S$ 的所有结合素理想, 并且不是 $A$ 的极大理想, 由于 $V_S$ 是 $R$-模, 有 $\mathfrak{p}\in P_i$. 扩张 $S$ 的话 $V_S$ 只会减小. 每个 $P_i$ 也都是 $N$ 的结合素理想. 我们来说明对每个 $P_i$, 都可以选取 $S$ 的扩环 $S_i$ 使得 $P_i$ 不是 $V_{S_i}$ 的结合素理想. 由此, 不断再扩张 $S_i$ 就可以. 以下记 $P_i=P$. $W=A-P$.

注意 $W^{-1}P=R_P$ 是在 Gorenstein 局部环 $A_P$ 上有限的. 设 $P$ 在 $A$ 中的高度为 $s$, 其中 $s<n$. 由局部对偶$${\mathrm{Ext}}_{A_P}^{n-i}(M_P,A_P)\simeq H_{P{A}_P}^{s-(n-i)}(M_P).$$但是根据 $i<d$, 我们有$$s-(n-i)<s-(n-d)=s-\mathrm{ht}(\mathfrak{p})=s-\mathrm{ht}(\mathfrak{p}{A}_P)=\dim (A_P/\mathfrak{p}{A}_P).$$根据归纳假设可以取一个 $R_P$ 的有限扩环 $T$, 使得映射$$H_{P{A}_P}^{s-n+i}(R_P)\to H_{P{A}_P}^{s-n+i}(T)$$是零. 根据命题 1.2, 可以取 $R_P$ 的有限扩环 $S$ 使得 $T=W^{-1}S$. 在以上狮子中再取对偶我们得到$${\mathrm{Ext}}_{A_P}^{n-i}(S_P,A_P)\to N_P=0.$$这说明 $(V_S{)}_P$, 即 $P$ 不是 $V_S$ 的结合素理想.

因此我们找到了有限扩环 $S$, 使得 $V_S$ 作为 $A$-模是有限长的. 取对偶我们得到 $H_{\mathfrak{m}}^i(R)\to H_{\mathfrak{m}}^i(S)$ 的像 $V$ 是有限长的. 考虑交换图表我们知道 $V$ 上有一个 Frobenius 作用.

$\square$

设 $R$ 是一个特征 $p$ 的整环, ${\mathcal{G}}_Z\in R[Z]$ 是首一的多项式, 即$$\mathcal{G}(Z)=Z^e+r_1{Z}^{e-1}+\cdots +r_e.$$我们将考察如下作用在所有 $R$-代数 $S$ 上的算子$${\mathcal{G}}_F=F^e+r_1{F}^{e-1}+\cdots +r_{e-1}F+r_{e}1.$$

引理 1.5. 设 $S$ 是正特征的整环, 且 $f_1,\dots ,f_n\in S$. 设 $I=(f_1,\dots ,f_h)S$, $\mathcal{G}=\mathcal{G}(Z)\in S[Z]$ 是首一的多项式. 设 $u\in H_I^i(S)$ 被 ${\mathcal{G}}_F$ 零化. 那么存在 $S$ 的有限扩环 $T$ 使得 $u$ 在映射 $H_I^i(S)\to H_I^i(T)$ 下为零.

证明. 设 $v\in {\mathcal{C}}^i({\underline{f}}^{\infty };S)$ 是代表了 $u$ 的一个圈, 那么 ${\mathcal{G}}_F(v)$ 是一个边界, 即 ${\mathcal{G}}_F(v)=\delta (w)$, 其中 $\delta$ 代表链映射. 设 $w_0$ 是 $w$ 的一个分量, 也就是 $S_g$ 中的一个元素, 考虑如下的方程$${\mathcal{G}}_F(Y)-w_0=0.$$这是一个首一的方程, 因此在 $S_g$ 的一个有限扩环 $T$ 上有解. 根据命题 1.2, 存在 $S$ 的有限扩环 $T_0$, 使得这个方程在 $(T_0{)}_g$ 上有解. 对 $w$ 的各个分裂不断做扩张, 我们就可以找到 $S$ 的一个有限扩环 $T_1$, 使得这些多项式都在 $(T_1{)}_g$ 上有解, 也就是说存在 $w^{\prime }\in {\mathcal{C}}^{i-1}({\underline{f}}^{\infty };T_1)$ 使得 ${\mathcal{G}}_F(w^{\prime })=w$. 我们于是有$${\mathcal{G}}_F(v)=\delta (w)=\delta ({\mathcal{G}}_F(w^{\prime }))={\mathcal{G}}_F((\delta (w^{\prime })),$$也就是说$${\mathcal{G}}_F(v-\delta (w^{\prime }))=0.$$于是 $v-\delta (w^{\prime })$ 的每一个分量都是 $(T_1{)}_g$ 中的分式, 并且适合 $T_1$ 上的一个首一多项式. 因此我们可以取 $T_1$ 在分式域中的一个有限扩环 $T$, 使得这些分量 $v^{\prime }=v-\delta (w^{\prime })$ 都落在 $T$ 中.

我们说明在 $H_I^i(T)$ 中 $u$ 就是零. 只需要说明 $v-\delta (w^{\prime })$ 是一个边界. 但是注意 $\mathcal{C}({\underline{1}}^{\infty };T)\subset \mathcal{C}({\underline{f}}^{\infty };T)$ 是零凋的子复形, 并且 $v-\delta (w^{\prime })$ 落在这个子复形中且是圈, 从而是一个边界.

$\square$

定理 1.6. 设 $I\subseteq S$ 是有限生成的理想, $S$ 是正特征的整环, 且 $R\subseteq S$ 是 Noether 环, $M$ $H_I^i(S)$ 有限生成的 $R$-子模. 假设 $M$ 在 Frobenius 作用下是稳定的, 那么存在 $S$ 的一个有限扩环 $T$ 使得 $M$ 在 $H_I^i(T)$ 中为零.

证明. 设 $u\in M$. 考虑 $R$-模的上升链$$u,F(u),F^2(u),\dots ,F^k(u),\dots$$这些是 $M$ 的子模. 由于 $M$ 是 Noether 的, 存在关系$$F^e(u)+s_1{F}^{e-1}u+\cdots +s_{e}u=0.$$在前面的引理中取 $G=X^e+s_1{X}^{e-1}+\cdots +s_e$. 那么存在 $S$ 的有限扩张 $T_0$ 使得 $u$ 在 $H_I^i(T)$ 中为零. 取 $M$ 的一组有限生成元依次重复这样的操作即可.

$\square$

推论 1.7. 设 $R$ 是正特征 $d$ 维半局部整环, 且 $\mathrm{rad}(R)=\mathfrak{A}$, 且在一个 Gorenstein 局部环上有限. 那么对任何 $1\le i\le d-1$ 都有 $H_{\mathfrak{A}}^i(R^{+})=0$.

证明. 由于局部上同调和滤余极限交换, 我们有$$H_{\mathfrak{A}}^i(R^{+})=\mathrm{colim}{H}_{\mathfrak{A}}^i(S)$$其中 $S$ 取遍 $R$ 的有限扩环. 但是对每个 $S$ 都存在有限扩环 $T$ 使得 $H_{\mathfrak{A}}^i(S)\to H_{\mathfrak{A}}^i(T)=0$, 这就说明它们在 $H_{\mathfrak{A}}^i(R^{+})$ 中是零.

$\square$

推论 1.8. 设 $(R,\mathfrak{m},K)$ 是正特征 $d$ 维局部整环, 且在一个 Gorenstein 局部环上有限. 那么对任何 $1\le i\le d-1$ 都有 $H_{\mathfrak{m}}^i(R^{+})=0$.

定理 1.9. 设 $(R,\mathfrak{m},K)$ 是正特征的局部整环, 维数为 $d$, 且在 Gorenstein 局部环上有限. 那么 $R^{+}$ 是 $R$ 的大 Cohen–Macaulay 代数.

证明. 由于 $R^{+}$ 是 $R$ 的整扩张, 存在 $\mathfrak{m}$ 上的极大理想, 从而 $R^{+}\ne \mathfrak{m}{R}^{+}$.

下设 $x_1,\dots ,x_d$ 是 $R^{+}$ 上的部分参数系, 我们要说明它在 $R^{+}$ 上正则. 我们对 $\dim R$ 与 $d$ 归纳. 对 $d=1$ 这是明显的. 假设 $d>1$, 并且我们有一个反例, 也就是说 $x_1,\dots ,x_{d-1}$ 是 $R^{+}$ 上的正则序列, 并且存在 $u\in R^{+}$ 使得 $u{x}_d\in J:=(x_1,\dots ,x_{d-1})R^{+}$, 但 $u\notin J$. 设 $\mathfrak{p}$ 是 $(J+Ru)/J$ 的支集中的素理想, 那么上面所说的 $u$ 和 $J$ 的关系在 $R_P$ 和 $R_P^{+}$ 上也是成立的. 还需要说明 $x_1,\dots ,x_d$ 在 $R_P$ 上仍为参数系. 但是 $(x_1,\dots ,x_d)\subseteq P$, 如果在 $R_P$ 中有 $x_d$ 在 $(x_1,\dots ,x_{d-1})$ 的一个极小素理想 $Q$ 里, 那么 $Q$ 的高度为 $h-1$, 这当然也是在 $R$ 中的高度, 从而 $Q$ 在 $R$ 里也对应 $(x_1,\dots ,x_{r-1})$ 的极小素理想. 但在 $R_P$ 中有 $(x_1,\dots ,x_d)\subseteq Q$, 从而在 $R$ 中便有 $(x_1,\dots ,x_d)\subseteq Q$, 与 $(x_1,\dots ,x_d)$ 为 $R$ 上的参数系矛盾. 由 $R$ 过渡到 $R_P$, 根据归纳假设, 只能有 $P=\mathfrak{m}$. 因此 $H_{\mathfrak{m}}^0(R^{+}/J)\ne 0$.

我们对 $h$ 归纳, 来证明对 $0\le h\le d-1$, $i<d-h$ 有$$H_{\mathfrak{m}}^i(R^{+}/(x_1,\dots ,x_h)R^{+})=0.$$这样取 $i=0,h=d-1$ 就得到了矛盾. 设 $S=R^{+}/(x_1,\dots ,x_h)R^{+},x=x_{h+1}$, 且已知对 $i<d-h$ 有 $H_{\mathfrak{m}}^i(S)=0$. 根据短正合列$$0\to S\to S\to S/xS$$我们得到正合列$$H_{\mathfrak{m}}^i(S)\to H_{\mathfrak{m}}^i(S/xS)\to S_{\mathfrak{m}}^{i+1}S$$对于 $i<d-h-1$, 我们有 $i+1<d-h$, 因此上面正合列的两边都是零, 从而中间一项也是零.

$\square$

注 1.10. 在 [??] 中, Bhargav Bhatt 证明了, 对混特征或零特征的优秀整环 $R$, $R^{+}/p{R}^{+}$ 都是 $R/p$ 上的 Cohen–Macaulay 代数. 由此便能得知 $R^{+}$ 的 $p$-进完备化 $\widehat{R^{+}}$ 是 $R$ 上的 Cohen–Macaulay 代数. 证明的想法同样是考察局部上同调. 在混特征的情形, 并没有 Frobenius 作用, 相应的解决方案是用棱镜复形 ${\text{Prism}}_R$ 代替 $R$.

注 1.11. 本文不对零特征的情形做证明, 但零特征的情况可以化归到正特征的情形, 参考 [??]. 自然, 也可以通过数理逻辑的方式从正特征到零特征, 参考 [??].