用户: Fyx1123581347/平展上同调/主齐性空间

本节中总设 $\mathcal{C}$ 是景, 且有终对象 $\mathrm{pt}$. 例子自然是 $X_E$.

1主齐性空间

设 $G$ 是 $\mathcal{C}$ 上的群层, $F$ 是 $\mathcal{C}$ 上的层, 且 $G$ 作用在 $F$ 上, 即 $F$ 为 $G$-层. 确切地说, 对于任意 $U\in \mathcal{C}$, 都有 $G(U)$ 作用在 $F(U)$ 上, 并且对于态射 $f:U\to V$, 都有$$f^{\ast }(g\cdot x)=(f^{\ast }g)\cdot (f^{\ast }x),g\in G(V),x\in F(V).$$对 $U\in \mathcal{C}$, $F|U$ 也自然是 $G|U$-层, 称 $F$ 为 $G$-旋子, 或者 $G$-主齐性空间, 如果存在 $\mathrm{pt}$ 的开覆盖 $\{U_i\}$, 使得 $F|U_i\simeq G|U_i$, 这里的同构是作为 $G|U_i$-层的同构. 我们称 $\{U_i\}$ 分裂了 $F$. 称两个 $G$-旋子同构, 如果它们作为 $G$-层同构.

2一阶非交换上同调

设 $G$ 是 $\mathcal{C}$ 上的群层, 且 $\mathcal{U}=\{U_i\to U\}$ 是 $U$ 的覆盖, 记 $U_{ij}=U_i{\times }_U{U}_j,U_{ijk}=U_i{\times }_U{U}_j{\times }_U{U}_k$. 我们定义上圈$$Z^1(\mathcal{U},\mathcal{F}):=\left\{(g_{ij})\in \prod _{I\times I}G(U_{ij})\mid g_{ik}=g_{ij}\cdot g_{jk}\right\},$$其中等式是限制在 $U_{ijk}$ 上而言的. 两个上圈 $(g_{ij})$ 和 $(g_{ij}^{\prime })$ 称为上同调的, 记作 $g\sim g^{\prime }$ 如果存在 $s_i\in G(U_i)$ 使得$$g_{ij}=s_i^{-1}\cdot g_{ij}^{\prime }\cdot s_j,$$其中等式是限制在 $U_{ij}$ 上而言的. 上圈的集合商去 $\sim$, 记作 ${\check{H}}^1(\mathcal{U},G)$, 过渡到极限, 我们定义$${\check{H}}^1(X,G):={\mathrm{colim}}_{\mathcal{U}}{\check{H}}^1(\mathcal{U},G).$$通常而言, 这只是带点 $(1_{ij})$ 的集合, 而并非一个群; 除非 $G$ 是交换群. 这时候 ${\check{H}}^1(X,G)$ 是之前定义的一阶 Čech 上同调群.

对每个被 $\{U_i\to U\}$ 分裂的 $G$-旋子 $F$, 我们取 $c_i\in F(U_i)$, 以及唯一的 $g_{ij}$ 使得 $c_i{g}_{ij}=c_j$. 这给出了从 $G$-旋子的同构类到 ${\check{H}}^1(X,G)$ 的映射.

命题 2.1. 如上描述的映射是一个双射.

证明. 略.

$\square$

3Hilbert 90

以下假设 $X$ 为概形, 记 $L_n(X)$ 为 $X$ 上秩 $n$ 局部自由层的同构类. 并记层 ${\mathrm{GL}}_n$ 为$${\mathrm{GL}}_n(Y)={\mathrm{GL}}_n(\Gamma (Y,{\mathcal{O}}_Y)).$$

定理 3.1. 对 Zariski 拓扑和平坦拓扑之间的任何拓扑 $E$ 都有典范双射$$L_n(X_{\mathrm{Zar}})\leftrightarrow {\check{H}}^1(X_E,{\mathrm{GL}}_n).$$

证明. 不难验证, $X_E$ 上的 ${\mathrm{GL}}_n$ 旋子一一对应于秩为 $n$ 的局部自由 ${\mathcal{O}}_{X_E}$ 层. 根据忠实平坦下降, 后者构成叠, 故得双射.

$\square$

扭转

设 Let $Y$ be a scheme (sheaf of modules, algebras, group scheme, etc.) over $X$. Another object $Y^{\prime }$ of the same type over $X$ is a twisted-form of $Y$ for the flat (respectively étale, Zariski) topology on $X$ if there exists a covering $\mathcal{U}=(U_i\to X)$ for the flat (respectively étale, Zariski) topology on $X$ such that $Y{\times }_X{U}_i\simeq Y^{\prime }{\times }_X{U}_i$ for all $i$. Any such twisted-form $Y^{\prime }$ defines an element $c(Y^{\prime })\in {\check{H}}^1(\mathcal{U}/X,\underline{\mathrm{Aut}}(Y))$, where $\underline{\mathrm{Aut}}(Y)$ is the sheaf associated to the presheaf $U\mapsto {\mathrm{Aut}}_U(Y{\times }_{X}U)$, as follows: let ${\varphi }_i$ be an isomorphism $Y{\times }_X{U}_i\to Y^{\prime }{\times }_X{U}_i$; then $({\alpha }_{ij})$, where ${\alpha }_{ij}={\varphi }_i^{-1}{\varphi }_j$, is a $1$-cocycle representing $c(Y^{\prime })$. The class $c(Y^{\prime })$ is well-defined, and two twisted-forms $Y^{\prime }$ and $Y^{\prime \prime }$ are isomorphic over $X$ if and only if $c(Y^{\prime })=c(Y^{\prime \prime })$. Any element of $H^1(\mathcal{U}/X,\underline{\mathrm{Aut}}(Y))$ defines a descent datum on $Y{\times }_{X}U$ where $U=\coprod U_i$. The map $Y^{\prime }\to c(Y^{\prime })$ thus defines an injection from the set of isomorphism classed of twisted-forms of $Y$ that become trivial when restricted to $\mathcal{U}$ into $H^1(\mathcal{U}/X,\underline{\mathrm{Aut}}(Y))$, and this injection is surjective whenever every descent datum on $Y\times U$ arises from a twisted-form.

Such definition of twisting generalizes that given in [??]. However to ask whether every descent datum arises from a twisting seems to be a concrete and specific question. The interpretation here does not help us much to show twistings of a curve $C$ over $k$ are classified by $H^1(G_k,\mathrm{Isom}(C))$, i.e., the map described above is surjective.

4Kummer 理论

对任何概形 $X$ 以及正整数 $n$, 短正合列$$0\to {\mu }_n\to {\mathbb{G}}_m\to {\mathbb{G}}_m\to 0$$给出长正合列$$0\to {\mu }_n(X)\to \Gamma (X,{\mathcal{O}}_X{)}^{\ast }\to \Gamma (X,{\mathcal{O}}_X{)}^{\ast }\to H^1(X,{\mu }_n)\to \mathrm{Pic}(X)\to \mathrm{Pic}(X).$$假设 $n$ 在 $\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X)$ 中可逆, 且 $\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X)$ 中有 $n$ 次本原单位根 $\zeta$, 则 ${\mu }_n$ (不典范地) 同构于常值层 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, 大致而言, 这样的同构来自于一个本原单位根的选取.

将以上正合列重写为$$0\to \Gamma (X,{\mathcal{O}}_X^{\ast })/\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X^{\ast }{)}^n\to H^1(X_{et},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\to \mathrm{Pic}(X)[n]\to 0.$$第一个映射就是将 $a\in \Gamma (X,{\mathcal{O}}_X^{\ast })$ 送到 $\mathbf{Spec}(B)$, 其中 $B={\mathcal{O}}_X[T]/(T^n-a)$. 第二个映射也可以显式地写出 (to be added).

5待完善

假设 $X$ 是一个 $k$ 上的完备正规簇, 且 $k$ 中有 $n$ 次本原单位根. 以上正合列可写为$$0\to k^{\ast }/k^{\ast n}\to {\pi }^1(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\to \mathrm{Pic}(X)[n]\to 0.$$一个元素 $a\in k^{\ast }$ 定义了 $k$-代数 $k[x]/(x^n-a)$, 对应的 ${\pi }^1(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ 中元素为 $X^{\prime }=X{\otimes }_k{k}^{\prime }$. 另一方面, 考虑 ${\pi }^1(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ 中的元素 $X^{\prime }$, 使得 $k$ 在 $R(X^{\prime })$ 中是整闭的, 或者等价地说, $X^{\prime }$ 的每一个连通分支也是 $k$ 上的簇. 这样的覆叠 $X^{\prime }/X$ 称为几何覆叠. 环 $R(X^{\prime })$ 是 $k(X)$ 的 Galois 扩张, 因此对应于 $a\in k(X{)}^{\ast }$, 从而 $R(X^{\prime })=k(X)[T]/(T^n-a)$. 由于 $X^{\prime }$ 在 $X$ 上平展,