用户: Fyx1123581347/平展上同调/平展基本群/平展覆叠空间

1商空间

设群 $G$ (右) 作用在环化空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 上, 即存在群同态 $G\to \mathrm{Aut}(X{)}^{op}$. $X$ 在 $G$ 作用下的商空间是一个环化空间 $(Y,{\mathcal{O}}_Y)$ 以及一个态射 $p:X\to Y$, 适合如下泛性质:
$p$ 在 $G$ 作用下不变, 即 $p=p\circ \sigma$, 对任何 $\sigma \in G$; 且任何 $G$-不变的环化空间态射 $f:X\to Z$ 都唯一地穿过 $p$, 即存在唯一的 $\tilde{f}:Y\to Z$, 使得 $f=\tilde{f}\circ p$.

换言之, $Y$ 是函子 $\mathrm{Hom}(X,Z{)}^G$ 的代表元.

命题 1.1. 商空间在环化空间范畴中存在.

证明. 令 $Y=X/G$, $p:X\to Y$ 是典范投影, 在 $Y$ 上配备商拓扑. 对任何开集 $U\subset X$, 都有 $p^{-1}(p(U))={\bigcup }_{g\in G}Ug$, 因此 $p$ 是开映射.

对任何 $G$-不变的态射 $f:X\to Z$, 以及 $Z$ 的子集 $V$, 都有 $g^{-1}(f^{-1}(V))=(f\circ g{)}^{-1}(V)=f^{-1}(V)$, 也就是说 $f^{-1}(V)$ 在 $G$ 作用下是不变的. 因此, 对于任何开集 $V\subseteq Z$, $G$ 都 (左) 作用在 $f_{\ast }{\mathcal{O}}_X(V)$ 上. 设 $g$ 对应的 $X$ 上自同构为 $(g,g^{♭})$, $v\in {\mathcal{O}}_Z(V)$, 则$$g(f^{♭}(u))=f_{\ast }(g^{♭})(f^{♭}(u))=f^{♭}(u),$$因为根据定义有 $f^{♭}=(f\circ g{)}^{♭}=f_{\ast }{g}^{♭}\circ f^{♭}$. 因此, $f^{♭}$ 唯一地分解为 ${\mathcal{O}}_Z\to (f_{\ast }{\mathcal{O}}_X{)}^G\to f_{\ast }{\mathcal{O}}_X$.

以上的讨论适用于典范投射 $p$, 我们在 $Y$ 上配备结构层 $(p_{\ast }{\mathcal{O}}_X{)}^G$, $p^{♭}$ 是自然的含入 $(p_{\ast }{\mathcal{O}}_X{)}^G\to p_{\ast }{\mathcal{O}}_X$. 根据商空间的泛性质, $f$ 在拓扑空间上唯一地分解为 $f=\tilde{f}\circ p$. 并且对任何开集 $V\subseteq Z$, 都有$${\tilde{f}}_{\ast }{\mathcal{O}}_Y(V)={\mathcal{O}}_Y({\tilde{f}}^{-1}(V))={\mathcal{O}}_X(f^{-1}(V){)}^G=(f_{\ast }{\mathcal{O}}_X{)}^G,$$因此结构层间的态射也是存在且唯一的.

$\square$

命题 1.2. 如果 $X$ 是局部环化空间, 那么如上定义的 $Y$ 也是在局部环化空间中的商.

证明. 设 $y\in Y$, 我们来证明 ${\mathcal{O}}_{Y,y}$ 是局部环. 取定 $x\in p^{-1}(y)$. 设 $a\in {\mathcal{O}}_{Y,y}$, 或者对 $y$ 的某个开邻域 $V$, $a\in {\mathcal{O}}_Y(V)={\mathcal{O}}_X(p^{-1}(V){)}^G$. 假设 $X$ 的开集 $U\subseteq p^{-1}(V)$ 使得 $a{|}_U=0$, 那么有 $a{|}_{p(U)}=0$. 这是因为 ${\mathcal{O}}_Y(p(U))={\mathcal{O}}_X(\bigcup Ug{)}^G$, 假设 $b\in {\mathcal{O}}_X(\bigcup Ug{)}^G$ 使得 $b{|}_U=0$, 那么$$b{|}_{U{g}^{-1}}=g^{♭}b{|}_{U{g}^{-1}}=g^{♭}(b{|}_U)=0,$$根据层公理也就有 $b=0$. 因此 ${\mathcal{O}}_{Y,y}\subseteq {\mathcal{O}}_{X,x}$.

设 ${\mathfrak{m}}_x$ 是 ${\mathcal{O}}_{X,x}$ 的极大理想, 我们令 $m_y={\mathfrak{m}}_x\cap {\mathcal{O}}_{Y,y}$, 则这就将是 ${\mathcal{O}}_{Y,y}$ 唯一的极大理想. 事实上, 只要说明不在 $m_y$ 中的元素都可逆即可. 假设 $f\in {\mathcal{O}}_{Y,y}$ 在 ${\mathcal{O}}_{X,x}$ 中可逆, 取 $y$ 的开邻域 $V$, 使得 $f$ 来自 ${\mathcal{O}}_Y(V)$, 则存在 $U\subset p^{-1}(V)$, 使得 $f{|}_U$ 可逆; 与上面相同的论证表明 $f{|}_{p(U)}$ 可逆, 从而 $f$ 在 ${\mathcal{O}}_{Y,y}$ 中可逆.

$\square$

注 1.3. 假设 $X$ 是概形, 则如上定义的商未必是概形; 即使是概形, 也未必是在概形范畴中的商.

命题 1.4. 设有限群 $G$ 作用在概形 $X$ 上, $f:X\to Z$ 是 $G$- 不变的仿射态射, 则 $G$ 在 $X$ 上的作用是可容的, 且 $X/G\simeq \mathbf{S}\mathbf{p}\mathbf{e}\mathbf{c}(f_{\ast }{\mathcal{O}}_X{)}^G$.

设 $Y\to X$ 是平展覆叠空间, 则 $G=\mathrm{Aut}(Y/X{)}^{op}$ 右作用在 $Y$ 上, 且是可容的. 如果 $Y$ 连通, 且 $Y/G\simeq X$, 我们称 $Y$ 是 Galois 覆叠, 其 Galois 群为 $G$.

注 1.5. 如果不要求 $Y$ 连通, 考虑 $k$-代数 ${\prod }_{i=1}^{n}k$, 则 $\mathrm{Aut}(Y/X)\simeq S_n$, 但作为向量空间其维数为 $n$, 这使得我不很想视其为 Galois 覆叠, 或者至少不该认为 Galois 群是 $S_n$. 这在下面会以旋子的方式进行修正.

推论 1.6. 设 $G$ 是有限群, $X$ 是连通 Noether 概形, 则连通的 $G$-旋子等价于 Galois 群为 $G$ 的覆叠.

证明. 对应于 ${\pi }_1(X)$-集, 两者皆为 ${\pi }_1(X)$ 作用传递, $G$ 作用单传递的集合.

$\square$

因此, 以后我们也把 $G$-旋子称为 Galois 覆叠, 其 Galois 群为 $G$. 则这样的概念在基变换下是稳定的, 并且有忠实平坦下降.

假设 $X$ 是一个整的 Noether 概形, $f:Y\to X$ 为平展态射, 那么一般纤维 $Y{\times }_{X}K(X)$ 就是 $\mathbf{S}\mathbf{p}\mathbf{e}\mathbf{c}({\mathcal{K}}_Y)$, 其中 ${\mathcal{K}}_Y$ 是 $Y$ 上的亚纯函数层. 问题是局部的, 我们约化到 $X,Y$ 都是仿射的情形. 考察 $Y$ 的连通分支, 可以进而假设 $Y$ 是连通的. 我觉得这一般而言都是对的, 但口胡不下去了, 所以假设 $X$ 正规, 那么 $Y$ 是整概形. 这时一般纤维也是整的, 但它是域上的平展代数, 从而只能是域, 结论即证.

一般的情况其实也可以这样处理: 我们要证明若 $A$ 是整环, $f:A\to B$ 为平展同态, $S=A-\{0\}$, 则 $S^{-1}B$ 是 $B$ 的全分式环. 因为 $f$ 平坦, 故 $S$ 中元素在 $B$ 上正则, 从而 $\mathrm{Frac}(B)=\mathrm{Frac}(S^{-1}B)$, 而 $S^{-1}B$ 是若干个域的乘积, 全分式化也就是自己.