用户: Fyx1123581347/平展上同调/平展基本群/驯顺基本群

1驯顺分歧扩张

命题 1.1. 有限扩张 $[L:K]$ 驯顺分歧, 当且仅当 $L/K^{nr}$ 由根式生成$$L=K^{nr}(\sqrt[m_1]{a_1},\dots ,\sqrt[m_r]{a_r})$$其中 $(m_i,p)=1$, 且此时基本等式成立$$[L:K]=ef.$$

证明. 设 $K=K^{nr}$, 从而 $\kappa =\lambda$, $([L:K],p)=1$.

我们先说明 $e=1$ 表明 $L=K$. (to be added)

假设 ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_r\in w(L^{\ast })$ 为 $w(L^{\ast })/v(K^{\ast })$ 的代表元, $m_i$ 是 ${\omega }_i$ 模 $v(K^{\ast })$ 的阶. 设 $n=[L:K]$, 则$$w(L^{\ast })=\frac{1}{n}$$故 $m_i\mid n$, 因而 $(m_i,p)=1$. 设 ${\gamma }_i\in L^{\times }$ 使得 $w({\gamma }_i)={\omega }_i$, 则存在 $c_i\in K^{\times }$, 使得 $w({\gamma }_i^{m_i})=v(c_i)$, 因此 ${\gamma }_i^{m_i}{c}_i{ϵ}_i$, ${ϵ}_i\in {\mathcal{O}}_L^{\times }$. 因 $\lambda =\kappa$, 可取 $b_i\in {\mathcal{O}}_K^{\times }$ 使得 ${\bar{b}}_i={\overline{ϵ}}_i$, 从而 ${ϵ}_i=b_i{u}_i,{\bar{u}}_i=1$.

我们来证明对 $(m,p)=1$, $K(\sqrt[m]{a})$ 为驯顺分歧扩张. 若承认基本等式, 那么明显驯顺分歧的子扩张也驯顺分歧, 从而只要再添进 $m$ 次单位根证明, 此时甚易. 若不然, 我们也借机复习一些域论. 假设 $L,E$ 都是 $K$ 的有限扩张, 总有 $[LE:K]\le [L:K]\cdot [E:K]$. 等号成立当且仅当 $L{\otimes }_{K}E\to LE$ 为同构, 此时也有 $L\cap E=K$.

Galois 基本定理将保证, 若 $L,E$ 中之一, 比如 $E$, 为 $K$ 的 Galois 扩张, 那么 $L,E$ 在 $K$ 上线性无交当且仅当 $L\cap E=K$. 自然, 这表明它们总在 $L\cap E$ 上线性无交. 这与基变换相吻合: $$\mathrm{Gal}(LE/E)\simeq \mathrm{Gal}(L/L\cap E).$$我们因而有$$[LE:L\cap E]=[L:L\cap E]\cdot [E:L\cap E],$$$$[LE:K]\cdot [L\cap E:K]=[L:K]\cdot [E:K];$$$$[LE:L]=[E:L\cap E].$$

若 $L,E$ 不必有限, 但仍有 $E/K$ 为 Galois 扩张, 也应有$$LE\simeq L{\otimes }_{L\cap E}E.$$如果 $[L:K]$ 有限, 则仍有$$[LE:L]=[E:L\cap E].$$以上讨论说明, 驯顺分歧扩张的子扩张也驯顺分歧; 判断驯顺分歧可以过渡到任何非分歧扩张上, 即若 $E/K$ 非分歧, 那么 $L/K$ 驯顺分歧, 当且仅当 $LE/E$ 驯顺分歧.

$\square$