用户: Fyx1123581347/平展上同调/Lefschetz 迹公式

$X$ 是 $k$ 上的概形, $\bar{k}$ 是 $k$ 的代数闭包, $\bar{X}$ 为基变换到代数闭包上, $\bar{E}$ 表示限制在 ${\bar{X}}_{et}$ 上. $\Omega$ 是 ${\mathbb{Q}}_l$ 的有限扩张. $\Lambda$ 是一个有限局部环, 或者它对应的常值环层. 我们假设 $l$ 与 $\Lambda$ 的阶数都与 $k$ 的特征互素.

簇指域上有限型, 几何既约, 几何不可约的概形. 曲线指维数为 $1$ 的簇.

对于 $l$-进层, 我们混用光滑层和局部常值层.

1Frobenius 的作用与 $L$ 函数

设 $X$ 是 $k={\mathbb{F}}_q$ 上的概形, 若 $\varphi$ 是一个紧合态射, 则 $\varphi$ 可以诱导上同调群间的映射 $H_c^r(X,E)\to H_c^r(X,{\varphi }^{\ast }E)$, 若要谈论 $\mathrm{Tr}\varphi$, 还需一个态射 ${\varphi }^{\ast }E\to E$.

我们有 Frobenius 态射 $F_{X/k}$, 其在 ${\mathcal{O}}_X$ 上是 $x\mapsto x^q$. 这显然是一个 $k$-态射. 按照通常的方式定义相对 Frobenius.

命题 1.1. 设 $Y$ 是 $X$ 上平展的代数空间, 则相对 Frobenius $F_{Y/X}$ 为同构.

证明. 只需对概形证明, 而 $F_{Y/X}$ 为泛同胚, 如其平展, 则为同构.

$\square$

记 $F=F_{(q)}$ 为 $F_{\bar{X}/\bar{k}}=F_{X/k}\otimes 1_{\bar{k}}$, 简称为 $\bar{X}$ 上的 Frobenius. 这依赖于 $q$.

设 $E$ 为 $X_{et}$ 上的层, 则 $E$ 是 $X$ 上的平展代数空间. 记 $F^{\ast }:F^{\ast }\bar{E}\to \bar{E}$.

令$${\bar{X}}^{F^n}=\{\bar{x}\in \bar{X}\mid \bar{x}\text{为闭点},F^n(\bar{x})=\bar{x}\}\simeq X({\mathbb{F}}_{q^n}).$$注意 $\bar{X}$ 上的闭点可视作 $X$ 的几何点 (几何点不全来自这些闭点, 这样的几何点是保持基域 $k$ 的), 因此 $F^{\ast n}$ 诱导了映射 $E_{F^n(\bar{x})}\to E_{\bar{x}}$. 如果 $F^n(\bar{x})=\bar{x}$, 那这将是一个自同态 $F_{\bar{x}}^n$.

下设 $E$ 是可构 $\Omega$-向量空间, $x$ 是 $X$ 上的闭点, $\bar{x}$ 是 $\bar{X}$ 上映到 $x$ 的闭点, $F_x$ 是自同态 $F_{\bar{x}}^{\mathrm{deg}(x)}$. 由于有限域之间的扩张都是 Galois 扩张, $x$ 对应的不同 $\bar{x}$ 作为几何点是同构的, 因此 $(E_{\bar{x}},F_x)$ 在同构意义下不依赖于 $\bar{x}$. 我们定义$$Z(X,E,t)=\prod _{x\in X\text{closed}}\det (1-F_x{t}^{\mathrm{deg}x}|E_{\bar{x}}{)}^{-1}\in \Omega [[t]].$$

定理 1.2. 若 $X$ 在 $k={\mathbb{F}}_q$ 上分离、有限型, 则$$Z(X,E,t)=\prod _r\det (1-Ft|H_c^r(\bar{X},\bar{E}){)}^{(-1{)}^{r+1}}.$$

证明. 我们有$$\log \frac{1}{\det (1-\varphi t|V)}=\sum _{m\ge 1}\mathrm{Tr}({\varphi }^m|V)\frac{t^m}{m}.$$因此, $$\begin{array}{rl}\log Z(X,E,t)& =\sum _x\sum _{m\ge 1}\mathrm{Tr}(F_x^m|E_{\bar{x}})\frac{t^{m\mathrm{deg}x}}{m}\\ & =\sum _n\sum _{x\in {\bar{X}}^{F^n}}\mathrm{Tr}(F_{\bar{x}}^n|E_{\bar{x}})\frac{t^n}{n}\end{array}$$

$\square$

另一方面, 有$$\log \prod _r\det (1-Ft|H_c^r(\bar{X},\bar{E}){)}^{(-1{)}^{r+1}}=\sum _n\sum _r(-1{)}^r\mathrm{Tr}(F^n|H_c^r(\bar{X},\bar{E}))\frac{t^n}{n}.$$对比之下, 我们只需证明

定理 1.3. $$\sum _{x\in {\bar{X}}^{F^n}}\mathrm{Tr}(F_{\bar{x}}^n|E_{\bar{x}})=\sum _r(-1{)}^r\mathrm{Tr}(F^n|H_c^r(\bar{X},\bar{E})).$$

将 $X$ 改为 $X\otimes {\mathbb{F}}_{q^n}$, 则 $\bar{X}$ 不变, 而 $F_{(q^n)}=F_{(q)}^n$. 因此, 只需要证明 $n=1$ 的情形.

注 1.4. Frobenius 作用也可以如下描述: 设 $f=F_{\bar{k}/k}$, 那么 $1\otimes f$ 是 $\bar{X}$ 上的一个自同构. 对 $X$ 上的层 $E$, 都有自然的映射 $H_c^r(\bar{X},(1\otimes f{)}_{\ast }\bar{E})\to H_c^r(\bar{X},\bar{E})$. 根据 $f_{\ast }$ 与 $j_{!}$ 的定义, 有典范的同构 $H_c^r(\bar{X},(1\otimes f{)}_{\ast }\bar{E})\simeq H_c^r(\bar{X},\bar{E})$. 因此, $1\otimes f$ 定义了 $H_c^r(\bar{X},\bar{E})$ 上的一个自同态. 可以验证, 这与 $F$ 给出的自同态是互逆的.

注 1.5. 设 $x$ 是 $X$ 上的闭点, $\mathrm{deg}(x)=n$, $f_x$ 在 $E_{\bar{x}}$ 上作用为 $\mathrm{Gal}(\overline{k(x)}/k(x))$ 中的 $a\mapsto a^{q^n}$, 则 $F_x=f_x^{-1}$.

2维数的约化

命题 2.1. 只需要对 $X$ 是 $k$ 上光滑分离曲线, $E$ 是局部常值层证明.

可以验证两个函数对 $E$ 都是乘性的; 以及若 $U$ 是 $X$ 的开子概形, $Y=X-U$, 则$$Z(X,E,t)=Z(U,E|U,t)Z(Y,E|Y,t).$$以及若 $\pi :X\to S$ 是 $k$-态射, 则$$Z(X,E,t)=\prod _{s\in S^0}Z(X_s,E|X_s,t),$$$$\det (1-Ft|H_c^{\ast }(\bar{X},\bar{E}))=\prod _j\det (1-Ft|H_c^{\ast }(\bar{S},\overline{R_c^j{\pi }_{\ast }(E)}){)}^{(-1{)}^j}.$$

我们假设定理 1.2 对 $\dim X\le 1$ 都成立, 则可以通过对 $\dim X$ 归纳来证明全部的情形. 这是因为根据对 $X$ 的乘性以及 Noether 归纳法, 可以将 $X$ 替换为一个开子概形. 取一个不可约仿射开子概形, 它有到 ${\mathbb{A}}^1$ 的非常值态射, 从而纤维的维数不超过 $\dim X-1$. 根据对纤维化的乘性, 即可完成归纳.

下设 $\dim X\le 1$, 不妨假设 $X$ 既约, 因为不改变平展上同调.

引理 2.2. 设 $X$ 是有限离散拓扑空间, $\varphi :X\to X$ 是一个映射, $A$ 是环, $E$ 是 $X$ 上的 $A$-模层, 且 $E_x$ 有限生成自由, ${\varphi }^{\ast }$ 是一个从 ${\varphi }^{\ast }E$ 到 $E$ 的态射, 则$$\sum _{x\in X^{\varphi }}\mathrm{Tr}({\varphi }_x^{\ast }|E_x)=\mathrm{Tr}(\varphi |H^0(X,E)).$$

如果 $\dim X=0$, 我们可以对 $\bar{X}$ 使用这个结论, 此时操作一番 (注意 $X$ 既约), 不难发现平展拓扑还是离散拓扑.

下面假设 $\dim X=1$. 同样, 根据 Noether 归纳, 我们可以假设 $X$ 不可约、光滑, 且 $E$ 为局部常值层. 令 $k^{\prime }$ 为 $k$ 在 $k(X)$ 中的代数闭包, 则 $X$ 是 $k^{\prime }$ 上的光滑曲线. 我们只需要说明$$Z(X/k,E,t)=Z(X/k^{\prime },E,t^n),$$$$\det (1-Ft|H^{\ast }(X{\otimes }_k\bar{k},\bar{E}))=\det (1-F^{\prime }{t}^n|H^{\ast }(X{\otimes }_k^{\prime },\bar{k},\bar{E})),$$其中 $n=[k^{\prime }:k]$, $F^{\prime }$ 是 $X{\otimes }_{k^{\prime }}\bar{k}$ 上的 Frobenius. 关于 $Z(X,E,t)$ 的等式是明显的, 因为其中除了 $\mathrm{deg}x$, 其他的量都是不依赖于基域的. 下面考虑行列式.

我们注意到$$\begin{array}{r}X{\times }_{k^{\prime }}{G}_{k^{\prime }}=X{\times }_{k^{\prime }}{k}^{\prime }{\times }_k{k}^{\prime }=X{\times }_k{k}^{\prime }\end{array}$$其中 $G=\mathrm{Gal}(k^{\prime }/k)$. 因此, $X{\otimes }_k\bar{k}$ 是 $n$ 个 $X{\otimes }_{k^{\prime }}\bar{k}$ 的无交并. 并且, 令 $W=H_c^r(X{\otimes }_k\bar{k},\bar{E})$, $V=H_c^r(X{\otimes }_{k^{\prime }}\bar{k},\bar{E})$, 则 $(W,F)=(V^n,F_n^{\prime })$, 其中$$F_n^{\prime }(v_1,\dots ,v_n)=(F^{\prime }{v}_n,v_1,\dots ,v_{n-1}).$$根据有理标准型的结果, 我们得到$$\det (1-F_n^{\prime }t|V^n)=\det (1-F^{\prime }{t}^n|V).$$

以下, 假设 $X$ 是 $k={\mathbb{F}}_q$ 上的光滑曲线.

3过渡到 $l$-进层

证明的想法是过渡到一个平展覆叠上, 使得 $E$ 是常值层, 然后使用对常值层的 Lefschetz 迹公式. 然而, 对于 ${\mathbb{Q}}_l$ 向量空间, 这并不能直接做到 (也许在射平展景上可以有直接的做法). 为此, 我们还是假设 $E=(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}{\otimes }_A\Omega$, 其中 $A$ 是 $\Omega$ 中的赋值环, 每个 $E_n$ 都是 ${\Lambda }_n=A/{\mathfrak{m}}^n$ 上的局部常值层. 我们对 $E_n$ 证明类似 1.2 的结论. 为此我们需要对不见得自由的模定义迹, 或者迹的交错和.

引理 3.1. 设 $A$ 是局部 Noether 环, $M^{\bullet }$ 是 $A$-模的复形, $\alpha :M\to M$ 是 $M^{\bullet }$ 的自同态. 对任何拟同构 $\gamma :P^{\bullet }\to M^{\bullet }$, 其中 $P^{\bullet }$ 是完美复形, 都存在 $P^{\bullet }$ 的自同态 $\beta$ 使得 $\alpha \circ \gamma =\gamma \circ \beta$; $\beta$ 在链同伦下是唯一的. 并且, $$\mathrm{Tr}(\beta |P^{\bullet }):=\sum (-1{)}^r\mathrm{Tr}(\beta |P^r)$$与 $P^{\bullet },\beta$ 无关. 假设 $H^r(M^{\bullet })$ 都是自由模, 那么$$\mathrm{Tr}(\beta |P^{\bullet })=\sum (-1{)}^r\mathrm{Tr}(\beta |H^r(M^{\bullet })).$$如果 $A$ 是整环, 分式域是 $\Omega$, 那么$$\mathrm{Tr}(\beta |P^{\bullet })=\sum (-1{)}^r\mathrm{Tr}(\beta \otimes 1|H^r(M^{\bullet }){\otimes }_A\Omega ).$$

设 $X$ 是 $k={\mathbb{F}}_q$ 上的分离簇, $E$ 是 $X$ 上的可构 $\Lambda$-模, $f:\bar{X}\to \mathrm{spec}\bar{k}$ 是结构态射. 我们令 $R_c{f}_{\ast }\bar{E}=R{\pi }_{\ast }(j_{!}\bar{E})$, ${\mathbf{H}}_c^{\bullet }(\bar{X},\bar{E})$ 表示拟同构于 $R_c{f}_{\ast }\bar{E}$ 的完美复形, 根据 projection formula, 这样的复形总是存在的. 根据第一节的讨论, $F$ 给出了 $R_c{f}_{\ast }\bar{E}\to R_c{f}_{\ast }\bar{E}$ 之间的态射, 在上同调的态射也就是 Frobenius, 因此我们可以谈论 $\mathrm{Tr}(F|{\mathbf{H}}_c^{\bullet }(\bar{X},\bar{E}))$. 如果 $E$ 是平坦的, 那么 $E_{\bar{x}}$ 是平坦的, 因此是自由的. 从而下面的定理中, 每一项的意义都是明确的.

定理 3.2. 设 $X$ 是 $k={\mathbb{F}}_q$ 上的光滑分离曲线, $E$ 是 $X$ 上的局部常值平坦 $\Lambda$-模. 那么$$\sum _{\bar{x}\in {\bar{X}}^F}\mathrm{Tr}(F_{\bar{x}}|E_{\bar{x}})=\mathrm{Tr}(F|{\mathbf{H}}_c^{\bullet }(\bar{X},\bar{E})).$$

推论 3.3. 设 $X$ 是 $k={\mathbb{F}}_q$ 上的光滑分离曲线, $E$ 是 $X$ 上的局部常值 $\Omega$-向量空间, 那么$$\sum _{\bar{x}\in {\bar{X}}^F}\mathrm{Tr}(F_{\bar{x}}|E_{\bar{x}})=\mathrm{Tr}(F|{\mathbf{H}}_c^{\bullet }(\bar{X},\bar{E})).$$

证明. 设 $E$ 是光滑 $l$-进层, $E=E_{\infty }{\otimes }_A\Omega$, $E_{\infty }=(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$. 可以选取 $E_n$ 是局部自由的 ${\Lambda }_n=A/{\mathfrak{m}}^n$-模. 可以证明 (有时间再写), 存在 $A$-模的完美复形 ${\mathbf{H}}_c^{\bullet }(\bar{X},{\bar{E}}_{\infty })$ 使得 $H^r({\mathbf{H}}_c^{\bullet }(\bar{X},{\bar{E}}_{\infty })\otimes \Omega )=H_c^r(\bar{X},\bar{E})$ 以及 ${\mathbf{H}}_c^{\bullet }(\bar{X},{\bar{E}}_{\infty })\otimes {\Lambda }_n={\mathbf{H}}_c^{\bullet }(\bar{X},{\bar{E}}_n)$. 因此, $$\mathrm{Tr}(F|{\mathbf{H}}_c^{\bullet }(\bar{X},{\bar{E}}_n))=\mathrm{Tr}{\mathbf{H}}_c^{\bullet }(\bar{X},{\bar{E}}_{\infty })\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{\mathfrak{m}}^n.$$同时明显有$$\mathrm{Tr}(F_{\bar{x}}|{\bar{E}}_{n,\bar{x}})=\mathrm{Tr}(F_{\bar{x}}|{\bar{E}}_{\infty ,\bar{x}})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{\mathfrak{m}}^n.$$这就表明$$\sum _{\bar{x}\in {\bar{X}}^F}\mathrm{Tr}(F_{\bar{x}}|E_{\bar{x}})=\mathrm{Tr}(F|{\mathbf{H}}_c^{\bullet }(\bar{X},\bar{E})),$$因为这在模 ${\mathfrak{m}}^n$ 意义下总成立.

$\square$

4曲线上的局部常值层

我们下面来证明定理 3.2.

设 $Y\to X$ 是一个 Galois 覆叠, 使得 $E|Y$ 为常值, 记 $\pi :\bar{Y}\to \bar{X}$. 注意 $\bar{Y}$ 不必连通. 设 $G$ 是 $Y/X$ 的 Galois 群, $R$ 是群环 $\Lambda [G]$. 设 ${\Lambda }_0$ 是 $\mathbb{Z}$ 在 $\Lambda$ 中的像, 则 ${\Lambda }_0=\mathbb{Z}/l^n$, 设 $R_0={\Lambda }_0[G]$.