用户: Fyx1123581347/微分几何/向量丛

1射流丛

在射流从 $J^{l} M$ 的整体截面 $J^{l} (M)$ 上可以赋予自然的代数结构.

命题 1.1. 存在 $f_{1}, \dots, f_{m} \in C^{\infty} (M)$ , 使得 $l$ -射流 $j_{l} (f_{1}), \dots, j_{l} (f_{m})$ 生成了模 $J^{l} (M)$ .

证明. 对

M = R^{k}

, 这是根据 Taylor 展开. 一般的, 我们取嵌入

F : M \to R^{k}

, 则

F^{*} (x^{σ}), ∣ σ ∣ \leq l

满足要求. 事实上, 在任何一点处都可以选择

x_{i}

成为局部坐标, 根据 Hadamard 引理结论成立.

$□$

推论 1.2. 存在 $f_{1}, \dots, f_{m}$ , 其微分生成了 $Λ^{1} (M)$ .

命题 1.3. 射流映射 $j_{l} : C^{\infty} (M) ⟶ J^{l} (M), f ⟼ j_{l} (f)$ 是 $\leq l$ 阶的线性微分算子.