用户: Fyx1123581347/微分几何/微分学

1导子

设 $\varphi :N\to M$ 为光滑映射, 则沿着 $\varphi$ 的向量场为一个从 $N$ 到 ${\coprod }_{n\in N}{T}_{\varphi (n)}M$ 的映射 $V$, 使得对任何 $n\in N$, 都有 $V(n)\in T_{\varphi (n)}M$. 称 $V$ 是光滑的, 如果对任何 $f\in C^{\infty }(M)$, 都有 $V(n)f\in C^{\infty }(N)$.

代数的地来看, 沿着 $\varphi$ 的向量场也就是$${\mathrm{Der}}_{\mathbb{R}}(C^{\infty }(M),C^{\infty }(N))$$中的一个元素, 其中 ${\varphi }^{\ast }:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(N)$ 给出模结构.

注意到 ${\mathrm{Hom}}_R(S,S)$ 的换位子$$[{\partial }_1,{\partial }_2]={\partial }_1{\partial }_2-{\partial }_2{\partial }_1$$限制在 ${\mathrm{Der}}_R(S,S)$ 上给出一个李代数结构.

2微分算子

我们考虑流形上的一阶微分算子, 局部上它形如$$\Delta =\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\frac{\partial }{\partial x_i}+\beta$$其中 ${\alpha }_i,\beta \in C^{\infty }(U)$.

我们注意到自由项 $\beta$ 可以有不变的表达: $\beta =\Delta (1)$. 因此, 我们可以声称 $\Delta$ 为一阶微分算子当且仅当 $\Delta -\Delta (1)$ 为导子.

命题 2.1. 一个 $\mathbb{R}$ 线性映射 $\Delta :C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$ 为一阶微分算子, 当且仅当对任何 $f,g\in C^{\infty }(M)$, $$[[\Delta ,f],g]=0.$$其中 $[\Delta ,f]=\Delta \circ f-f\circ \Delta$.

这也等价于说 $[\Delta ,f]$ 是 $C^{\infty }(M)$ 线性的.

注意到, 在命题的表达式中, $f,g$ 看上去不对称, 但实际上$$[[\Delta ,f],g]=[[\Delta ,g],f].$$因此, 我们改变记号. 设 $S$ 为 $R$ 代数, 对 $s\in S$, 定义$${\delta }_s:{\mathrm{Hom}}_R(S,S)⟶{\mathrm{Hom}}_R(S,S),{\delta }_s(\Delta )=[\Delta ,s],$$最末的 $s$ 视作左平移. 则 ${\delta }_s,{\delta }_{s^{\prime }}$ 交换, 且命题可写为$$({\delta }_s\circ {\delta }_{s^{\prime }})(\Delta )=0,\forall s,s^{\prime }\in S.$$

定义 2.2. $\Delta \in {\mathrm{Hom}}_R(S,S)$ 称为在 $S$ 中取值的阶 $\le l$ 的微分算子, 如果对任何 $s_0,\dots ,s_l\in S$, 有$$({\delta }_{s_0}\circ \cdots \circ {\delta }_{s_l})(\Delta )=0.$$所有阶 $\le l$ 的微分算子的集合记为 ${\mathrm{Diff}}_l(S)$.

如同 ${\mathrm{Der}}_R(S,S)$, ${\mathrm{Diff}}_l(S)$ 上有自然的 $S$-模结构. 但是, 我们可以引入另外的 $S$-模结构: $$s^{+}\cdot \Delta =\Delta \circ f.$$这使 ${\mathrm{Diff}}_l(S)$ 成为双模.

我们需要一些计算公式. 在 $N=(1,\dots ,n)$ 上赋予自然偏序, $I=(i_1,\dots ,i_l)$ 为 (有序) 子集, $s_I=s_{i_1}\cdots s_{i_l}$, ${\delta }_{s_I}={\delta }_{s_{i_1}}\cdots {\delta }_{s_{i_l}}$, $\overline{I}$ 为 $I$ 的补集, 则

命题 2.3. 对 $f,g\in {\mathrm{Hom}}_R(S,S)$, $s_i,s\in S$, $${\delta }_{s_N}(f\circ g)=\sum _{|I|\le n}{\delta }_{s_I}(f)\circ {\delta }_{s_{\overline{I}}}(g),$$$${\delta }_{s_N}(f)(s)=\sum _{|I|\le n}(-1{)}^{|I|}{s}_{I}f(s_{\overline{I}}s).$$

命题 2.4. 设 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 分别为阶 $\le l,\le k$ 的微分算子, 则复合 ${\Delta }_1\circ {\Delta }_2$ 为阶 $\le l+k$ 的微分算子.

命题 2.5. 设 $I\subset S$ 为理想, $s\in I^k$, $\Delta \in {\mathrm{Diff}}_n(S)$, 且 $n<k$. 则 $\Delta (s)\in I^{k-n}$.

命题 2.6 (微分算子的局部性). 设 $f,g\in C^{\infty }(M)$ 在 $z$ 的某个开邻域上相等, 则对任何微分算子 $\Delta$, $$\Delta (f)(z)=\Delta (g)(z).$$

证明. $f-g\in {\bigcap }_{n=1}^{\infty }{\mathfrak{m}}_z^n$.

$\square$

以上的结论允许我们定义微分算子在开集上的限制.

命题 2.7. 对 $\Delta \in {\mathrm{Diff}}_l{C}^{\infty }(M)$, $x_1,\dots ,x_l$ 为 $U$ 的局部坐标, 则$$\Delta {|}_U=\sum _{|\sigma |\le l}{a}_{\sigma }\frac{{\partial }^{|\sigma |}}{\partial x^{\sigma }},a_{\sigma }\in C^{\infty }(U).$$

证明. 根据 Taylor 展开.

$\square$

3射流与万有微分算子

我们注意到对 $\Delta \in {\mathrm{Diff}}_l{C}^{\infty }(M)$, 以及 $f\equiv g\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{\mathfrak{m}}_z^{l+1}$, 有 $\Delta (f)(z)=\Delta (g)z$.

记 $l$-射流为$$J_z^l(M)=C^{\infty }(M)/{\mathfrak{m}}_z^{l+1},$$$f$ 的典范投影记作 $[f{]}_z^l$. 我们有映射$$h_{\Delta ,z}:J_z^{l}M\to \mathbb{R},[f{]}_z^l⟼\Delta (f)(z).$$将射流并起来我们得到射流丛, 记作 $J^{l}M$.

对 $f\in C^{\infty }(M)$, 我们有自然的截面$$s_{j_l(f)}:z⟼[f{]}_z^l.$$

一个阶 $\le l$ 的微分算子将给出映射$$h_{\Delta }:J^{l}M⟶M\times \mathbb{R},\theta ⟼(z,h_{\Delta ,z}(\theta )).$$我们有分解$$\Delta (f)={\pi }_{\mathbb{R}}\circ h_{\Delta }\circ s_{j_l(f)}.$$我们或许因此称 $s$ 为万有微分算子, 其含义要之后才能明白.

我们可以看到微分算子的定义能够 (也需要) 再做推广: 设 $P,Q$ 为 $S$-模, 对 $\Delta \in {\mathrm{Hom}}_R(P,Q)$, $s\in S$ 我们可以定义换位子$${\delta }_s(\Delta )=[\Delta ,s]:P⟶Q,$$$$[\Delta ,s](p)=\Delta (sp)-s\Delta (p).$$

定义 3.1. $\Delta \in {\mathrm{Hom}}_R(P,Q)$ 称为阶 $\le l$ 的线性微分算子, 如果对任何 $s_0,\dots ,s_l\in S$, $${\delta }_{s_0}\circ \cdots \circ {\delta }_{s_l}(\Delta )=0.$$

记丛 $P$ 到 $Q$ 的 $\le l$ 阶微分算子集合为 ${\mathrm{Diff}}_l(P,Q)$. 其在加法与通常的左乘下封闭:$$(s\Delta )(p):=s\cdot \Delta (p).$$其因此有左 $S$-模结构. 我们也可以定义右模结构$$(s^{+}\Delta )(p)=\Delta (sp).$$我们以 ${\mathrm{Diff}}^{+}(P,Q)$ 记录右模结构, 以 ${\mathrm{Diff}}^{(+)}(P,Q)$ 记录双模结构.

若 $h:P\to Q$ 是 $S$-线性的, 则 $\Delta \mapsto h\circ \Delta$ 也为左 $A$-模同态, 即有函子 ${\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}}_S\to {\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}}_S$$$P⟼\mathrm{Diff}(P).$$此前的若干公式依然成立.

命题 3.2. 设 $I$ 为 $S$ 中理想, $p\in I^{k}P$, $\Delta \in {\mathrm{Diff}}_l(P,Q)$. 若 $n<k$, 则 $\Delta (p)\in I^{k-n}Q$.

例 3.3. $${\mathrm{Diff}}_0(P,Q)={\mathrm{Diff}}_0^{+}(P,Q)={\mathrm{Hom}}_R(P,Q).$$

例 3.4. 在 ${\mathrm{Diff}}_l(P,Q)$ 的集合上的恒等映射是两个模结构之间的 $\le l$ 阶微分算子.

我们有自然的嵌入$${\mathrm{Diff}}_0^{(+)}(P,Q)\subset \cdots {\mathrm{Diff}}_l^{(+)}(P,Q)\subset {\mathrm{Diff}}_{l+1}^{(+)}(P,Q)\subset \cdots$$取直极限, 记为 ${\mathrm{Diff}}^{(+)}(P,Q)$. 由于微分算子的复合还是微分算子, 注意双模 ${\mathrm{Diff}}^{(+)}(P,P)$ 上有相容的非交换环结构. 并且 ${\mathrm{Diff}}^{(+)}(P,Q)$ 是右 ${\mathrm{Diff}}^{(+)}(P,P)$-模, 也是左 ${\mathrm{Diff}}^{(+)}(Q,Q)$-模.