用户: Fyx1123581347/微分几何/测地线

定义 0.1. $\gamma :I\to M$ 称为测地线, 如果$$\frac{D}{dt}\left(\frac{d\gamma }{dt}\right)=0.$$

局部坐标上有测地线方程$$\frac{d^2{\gamma }^k}{d{t}^2}+{\Gamma }_{i,j}^k\frac{d{\gamma }^i}{dt}\frac{d{\gamma }^j}{dt}=0.$$

命题 0.2. 测地线的速度大小是定值.

命题 0.3. 只有线性重参数化才保持测地线. $$\gamma (t,q,av)=\gamma (at,q,v).$$

$\gamma :I\to M$ 也定义了到切丛上的映射, $t\mapsto (\gamma (t),{\gamma }^{\prime }(t))$. 测地线的方程如下$$\frac{d{x}^k}{dt}=y^k,$$$$\frac{d{y}^k}{dt}=-{\Gamma }_{i,j}^k{y}^i{y}^j.$$

因此测地线方程在 $TM$ 上定义了一个向量场, 称为测地向量场, 其流线为测地线.

定义指数映射 $\exp :\mathcal{U}\to M$, 其中 $\mathcal{U}\subset TM$ 为一开集, $$\exp (q,v)=\gamma (1,q,v)=\gamma (|v|,q,\frac{v}{|v|}).$$这显然是光滑映射.

我们更常考虑将其局限在 $q\in M$ 的切空间上的原点附近邻域. 几何上这就是沿着以 $\frac{v}{|v|}$ 为初始向量的测地线走 $|\gamma |$. 由于 ${\exp }_q$ 在切空间原点处的切映射为恒等, 指数映射是局部微分同胚.