用户: Fyx1123581347/微分几何/线性代数

1向量值微分形式

记 ${\Omega }^k(M,V)=\Gamma \left(\right({\wedge }^k{T}^{\ast }M)\otimes V)$, 取 $V$ 的基 $v_i$, 可以将向量值微分形式写成$$\alpha =\sum {\alpha }^i\otimes v_i=\sum {\alpha }^i{v}_i.$$

对于双线性型 $\mu :V\times W\to Z$, 可以定义$$A_k(T,V)\times A_l(T,W)\to A_{k+l}(T,Z),$$其无非是 ${\wedge }^k(T^{\vee })\times {\wedge }^l(T^{\vee })\to {\wedge }^{k+l}(T^{\vee })$ 与 $V\otimes W\to Z$ 的复合.

命题 1.1. $\alpha {\wedge }_{\mu }\beta ={\sum }_{i,j}{\alpha }^i\wedge {\beta }^j\mu (v_i,w_j)$.

我们从而可以定义$${\Omega }^k(M,V)\times {\Omega }^l(M,W)\to {\Omega }^{k+l}(M,Z)$$

例 1.2. 双线性型可以是$${\mathbb{R}}^{m\times p}\times {\mathbb{R}}^{p\times n}\to {\mathbb{R}}^{m\times n}$$上的矩阵相乘. 设 $A=[a_j^i]$, $a_j^i$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列元素, 则$$(A\wedge B{)}_j^i=\sum _k{A}_k^i\wedge B_j^k.$$

2向量值函数的导数

依坐标定义; 或者用曲线.

3外微分

对 $\alpha =\sum {\alpha }^i{v}_i$, 定义$$d\alpha =\sum (d{\alpha }^i)v_i$$这与 $v_i$ 的选取无关.

命题 3.1. $d(\alpha {\wedge }_{\mu }\beta )=d\alpha {\wedge }_{\mu }\beta +(-1{)}^{\mathrm{deg}\alpha }\alpha {\wedge }_{\mu }d\beta$.

4在李代数中取值的微分形式

若 $\mu$ 是 Lie 代数 $\mathfrak{g}$ 的 Lie 括号, 则记 $\alpha {\wedge }_{\mu }\beta =[\alpha ,\beta ]$.

例 4.1. $[\alpha ,\beta ](X,Y)=[\alpha (X),\beta (Y)]-[\alpha (Y),\beta (X)]$.

对 $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}\mathfrak{l}(n,\mathbb{R})$, 有$$[\alpha ,\beta ]=\alpha \wedge \beta -(-1{)}^{\mathrm{deg}\alpha \cdot \mathrm{deg}\beta }\beta \wedge \alpha$$因此外积不再有反称性.

5拉回

$$(f^{\ast }\alpha {)}_p(u_1,\dots ,u_k)={\alpha }_{f(p)}(f_{\ast }{u}_1,\dots ,f_{\ast }{u}_k).$$

命题 5.1.

•	$f^{\ast }(\sum {\alpha }^i{v}_i)=\sum f^{\ast }({\alpha }^i)v_i$.
•	$f^{\ast }(\alpha {\wedge }_{\mu }\beta )=f^{\ast }(\alpha ){\wedge }_{\mu }{f}^{\ast }(\beta )$.
•	$f^{\ast }d\alpha =d{f}^{\ast }\alpha$.

6向量丛值微分形式

大概说明以上可以直接云到模上.

7真·线性代数

设 ${\nabla }_X{e}_j=\sum {\omega }_j^i(X)e_i$. 将 $(e_i)$ 写成行矩阵 $e$, 这也可以重写成$${\nabla }_X=e\omega (X)$$作为 $X$ 的函数, 这可以进一步写为$$\nabla e=e\omega .$$

我们要关心这些式子在标架变化下的规则. 设 ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_r$ 是另一组标架,$$\bar{e}=ea,a\in C^{\infty }(U,\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{R})).$$

将 Leibniz 法则写为$$\nabla (sf)=(\nabla s)f+sdf.$$

命题 7.1.

1.	$\bar{\omega }=a^{-1}\omega a+a^{-1}da,$
2.	$\bar{\Omega }=a^{-1}\Omega a.$

证明. (i) $$\begin{array}{rl}\nabla \bar{e}& =\nabla ea\\ & =(\nabla e)a+eda\\ & =e\omega a+eda\\ & =ea(a^{-1}\omega a+a^{-1}da).\end{array}$$(ii) $$\begin{array}{rl}\bar{\Omega }& =d\bar{\omega }+\bar{\omega }\wedge \bar{\omega }\\ & =d(a^{-1}\omega a+a^{-1}da)+(a^{-1}\omega a+a^{-1}da)\wedge (a^{-1}\omega a+a^{-1}da)\\ & =d(a^{-1})\wedge \omega a+a^{-1}d\omega \wedge a-a^{-1}\omega \wedge da+d(a^{-1})\wedge a\\ & +a^{-1}\omega \wedge \omega a+a^{-1}\omega da+a^{-1}da\wedge a^{-1}\omega a+a^{-1}da\wedge a^{-1}da\\ & =a^{-1}\Omega a\end{array}$$其中有$$d(a^{-1})+a^{-1}da\wedge a^{-1}=0.$$或者有$$R(X,Y)(e)=e\Omega (X,Y).$$$$\begin{array}{rl}R(\bar{e})& =R(ea)\\ & =R(e)a\\ & =e\Omega a\\ & =\bar{e}{a}^{-1}\Omega a.\end{array}$$

$\square$

8Bianchi 恒等式

命题 8.1. $$d\tau =\Omega \wedge \theta -\omega \wedge \tau .$$

证明. 对第一结构方程求导$$\tau =d\theta +\omega \wedge \theta ,$$$$\begin{array}{rl}d\tau & =d\omega \wedge \theta +\omega \wedge d\theta \\ & =(\Omega -\omega \wedge \omega )\wedge \theta \\ & =\Omega \wedge \theta -\omega \wedge \tau .\end{array}$$

$\square$

命题 8.2. $$d{\Omega }^k={\Omega }^k\wedge \omega -\omega \wedge {\Omega }^k.$$

命题 8.3. $$R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0.$$

证明. 设 $e_1,\dots e_n$ 是标架, ${\theta }^1,\dots ,{\theta }^n$ 是对偶标架, $Z={\theta }^j(Z)e_j$, 则$$\begin{array}{rl}R(X,Y)Z& =R(X,Y){\theta }^j(Z)e_j\\ & ={\Omega }_j^i(X,Y){\theta }^j(Z)e_i\end{array}$$由于 $\Omega \wedge \theta$ 的第 $i$ 个分量为 ${\Omega }_j^i\wedge {\theta }^j$, 第一 Bianchi 恒等式给出, $$\begin{array}{rl}0& ={\Omega }_j^i\wedge {\theta }^j(X,Y,Z)\\ & ={\Omega }_j^i(X,Y){\theta }^j(Z)-{\Omega }_j^i(X,Z){\theta }^j(Y)+{\Omega }_j^i(Y,Z){\theta }^j(X).\end{array}$$乘以 $e_i$, 求和即得.

$\square$

9张量场的协变导数

命题 9.1. $${\nabla }_X({\omega }^{♯})=({\nabla }_X(\omega ){)}^{♯}.$$$${\nabla }_X(T_1\otimes T_2)=({\nabla }_X{T}_1)\otimes T_2+T_1\otimes ({\nabla }_X{T}_2).$$

10缩并

对于有限生成投射模 $P$, 有 $P^{\ast }\otimes P\simeq \mathrm{End}(P,P)$, 由自然配对$$P^{\ast }\times P\to R$$给出的元素 $\mathrm{tr}\in \mathrm{End}(P,P{)}^{\ast }$ 称为取迹.

设 $g:P\to P^{\ast }$ 为同构, 对于双线性型$$T:P\times P\to R,$$定义 ${\mathrm{tr}}_g(T)=\mathrm{tr}(T_{♭})$, 其中$$T_{♭}:P\times P^{\ast }\to R.$$若 $P=V$ 为有限维向量空间, $T_{♭}$ 也就是这样给出的: $g:V\times V\to K$ 是同构, 根据 Riesz 表示定理, 存在 $A=T_{♭}$, $$T(u,v)=g(Au,v).$$设 $g(e_i,e_j)={\delta }_{ij}$, 则$$\begin{array}{rl}\sum T(e_j,e_j)& =\sum g(A{e}_j,e_j)\\ & =\sum g(A_j^i{e}_i,e_j)\\ & =\sum A_j^j\\ & =\mathrm{tr}(A).\end{array}$$由于转置不改变迹, 我们上面的选择调换一些分量的位置也不改变取迹的结果.

命题 10.1 (杨学). $$\mathrm{tr}(\nabla )=\nabla (\mathrm{tr}).$$