用户: Fyx1123581347/微分几何/联络

1局部算子与点算子

设 $E,F$ 是 $M$ 上的光滑向量丛, $\mathbb{R}$-线性映射$$\alpha :\Gamma (E)\to \Gamma (F)$$称为局部算子, 如果对 $s\in \Gamma (E)$ 在 $M$ 的开集 $U$ 上恒为零, 则 $\alpha (S)\in \Gamma (F)$ 在 $U$ 上恒为零. 其称为点算子, 如果 $s(p)=0$, 则 $\alpha (s)(p)=0$.

例 1.1.

•	${\mathrm{Hom}}_{C^{\infty }(M)}(\Gamma (E),\Gamma (F))$ 中的元素是局部算子. 事实上它们都是点算子, 这是下面的定理.
•	${\mathrm{Der}}_{C^{\infty }(M)}(\Gamma (E),\Gamma (F))$ 中的元素是局部算子.

局部算子通过延拓截面, 自然可以限制在开集上.

定理 1.2. $E\mapsto \Gamma (E)$, $\phi \mapsto {\phi }^{♯}$ 是全忠实的. 其中$${\phi }^{♯}(s)=s\circ \phi .$$

2向量丛上的联络

设 $E\to M$ 为向量丛, $E$ 上的联络是一个映射$$\nabla :\mathfrak{X}(M)\times \Gamma (E)\to \Gamma (E)$$使得对第一个分量函数线性, 第二个分量满足 Leibniz 法则.

自然, 应该有 ${\nabla }_{X}f=Xf$. 称截面 $s$ 平坦, 如果总有 ${\nabla }_{X}s=0$.

联络的线性组合不必是联络, 但凸线性组合总是联络. 由此知向量丛上总存在联络.

3曲率

$$R(X,Y)s={\nabla }_X{\nabla }_{Y}s-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}s-{\nabla }_{[X,Y]}s\in \Gamma (E)$$可以验证这是函数线性的.

4Riemannian 丛

在 $E$ 的纤维上赋予内积, 光滑性通过截面配对来定义, 当然也就是在光滑标架下是光滑矩阵. 向量丛上总有黎曼度量.

称联络和度量相容, 如果$$X⟨s,t⟩=⟨{\nabla }_{X}s,t⟩+⟨s,{\nabla }_{X}t⟩.$$

命题 4.1. Riemannian 丛上总有度量相容的联络.

5联络的限制

由于联络是局部算子, 它可以限制在开集上.

由于联络对第一个分量线性, 存在映射$$\nabla :T_{p}M\times \Gamma (E)\to E_p,$$使得$${\nabla }_{X}s(p)={\nabla }_{X_p}s.$$

可以证明, 如果 $s,t$ 在过 $p$ 的一条曲线上相等, 曲线在 $p$ 处的切向量为 $X_p$, 则 ${\nabla }_{X_p}s={\nabla }_{X_p}t$.

6局部计算

设 $E$ 是秩为 $r$ 的向量丛, 取局部标架 $e_1,\dots ,e_r$, 则$${\nabla }_X{e}_j=\sum {\omega }_j^i(X)e_i$$每个 ${\omega }_j^i$ 都是 $1$-形式, 称为联络形式.

类似的, 有$$R(X,Y)e_j=\sum {\Omega }_j^i(X,Y)e_i$$其中 ${\Omega }_j^i$ 是 $2$-形式, 称为曲率形式. 注意这里反称是对于 $X,Y$ 的.

命题 6.1. $${\Omega }_j^i=d{\omega }_j^i+\sum _k{\omega }_k^i\wedge {\omega }_j^k.$$

总可以将标架正交化.

在平凡化开集上, 联络等价于一个 $1$ -形式的 $r\times r$ 矩阵.

命题 6.2. 联络与度量相容, 当且仅当每点处的联络矩阵相对某一正交标架是斜对称的; 当且仅当每点处的联络矩阵对任何正交标架是斜对称的.

命题 6.3. 若 ${\omega }_j^i$ 是斜对称的, 则 ${\Omega }_j^i$ 是斜对称的.

7切丛上的联络

切丛上的联络有挠张量 $T(X,Y)$. 设 $e_1,\dots ,e_n$ 为标架, ${\theta }^i$ 为对偶标架. ${\tau }^i=T^i(X,Y)$ 是挠形式.

命题 7.1. $${\tau }^i=d{\theta }^i+\sum _j{\omega }_j^i\wedge {\theta }^j.$$

以上公式可以重新写成$$\tau =d\theta +\omega \wedge \theta ,$$$$\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega .$$