用户: Fyx1123581347/泛函分析/Banach代数

命题 0.1. 设 $X$ 为紧 Hausdorff 拓扑空间, 则 $C(X)$ 的闭子理想与 $X$ 的闭子集一一对应, $$\begin{array}{rl}I& ⟷Z(I)\\ K& ⟷I(K)\end{array}$$换言之, 即$$\begin{array}{rl}I(Z(I))& =\bar{I}\\ Z(I(S))& =\bar{S}\end{array}$$

证明. 只需证对闭理想 $I$, $I(Z(I))=I$. 记 $K=Z(I)$, 考虑 $Y=X/K$, 以及 $C(X)$ 子代数$$A=\mathbb{R}+I.$$则 $A$ 可以视作 $C(Y)$ 的子代数, 且 $A$ 区分点: 对任何 $x,y\in X-K,x\ne y$, 取 $\chi \in C(X)$ 使得 $\chi (x)=0,\chi (y)=1$. 存在 $f\in I$, 使得 $f(x)\ne 0$, 考虑 $f-cf\chi$ 即明.

又因 $I$ 为闭理想, $A$ 为闭集, 从而 $A=C(Y)$. 因此在 $K$ 上为 $0$ 的函数落在 $I$ 中.

$\square$