用户: Fyx1123581347/类域论/局部类域论/局部Artin映射

局部 Artin 映射是适合如下性质的群同态$${\varphi }_K:K^{\ast }\to \mathrm{Gal}(K^{ab}/K)$$(a) 任何一个素元 (或 local uniformizer, 译法未知) $\pi$ 被映为 Frobenius 自同构, 即$${\varphi }_K(\pi ){|}_{K^{un}}={\mathrm{Frob}}_K$$(b) 对每个有限阿贝尔扩张 $L/K$, ${\varphi }_K$ 限制在 $L$ 上 (记作 ${\varphi }_{L/K}$) 诱导出同构$${\varphi }_{L/K}:K^{\ast }/\mathrm{Nm}(L^{\ast })\simeq \mathrm{Gal}(L/K)$$

1证明概要

我们将证明 $H^2(K^{sep}/K)$ 同构于 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. 事实上存在同构$${\mathrm{inv}}_K:H^2(K^{sep}/K)\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\simeq$$使得对于任何有限 Galois 扩张 $L/K$, 都有$${\mathrm{inv}}_K:H^2(L/K)\frac{1}{[L:K]}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\simeq$$为此, 我们先处理非分歧扩张的情形, 再证明$$H^2(K^{sep}/K^{un})=0.$$根据膨胀-限制正合列结论即得.

至此, 根据 Tate-Nakayama 定理, 对任何 $r\in \mathbb{Z}$ 有同构$$H_T^r(G,\mathbb{Z})\simeq H_T^{r+2}(G,L^{\times })$$取 $r=-2$, 即有$$G^{ab}\simeq K^{\ast }/\mathrm{Nm}{L}^{\ast }$$不难相信其逆即为局部 Artin 映射.

2非分歧扩张

我们先处理非分歧扩张.

定理 2.1. 若 $L/K$ 为有限非分歧扩张, $U_L$ 为 $L$ 的单位群, 则对任何整数 $r$, 都有 $H_T^r(G,U_L)=0$.

注 2.2. 本文中 Tate 上同调均用 $H_T$ 表示, 也只对有限群定义. 若不加角标, 则为正常的上同调和下同调.

证明. 对非分歧扩张 $L/K$, 我们有分裂的 $G$-模短正合列$$0U_L{L}^{\ast }\mathbb{Z}0$$(1)其中一个右截面等价于选取 $L$ 的一个素元 $\pi$, 且 $\pi \in K$. 从而有如下的分裂短正合列$$0H^1(G,U_L)H^1(G,L^{\ast })H^1(G,\mathbb{Z})0$$由 Hilbert 定理 90, $H_T^1(G,L^{\ast })=0$. 由于 $G$ 是循环群, 根据周期性, 只需证明 $H_T^0(G,U_L)=0$, 也就是说, $\mathrm{Nm}(U_L)=U_K$. 这是因为下面的一些结论.

$\square$

引理 2.3. 令 $A_n,A_n^{\prime }$ 分别为阿贝尔群 $A,A^{\prime }$ 的下降滤链, 其中 $A_0=A,A_0^{\prime }=A^{\prime }$, 且 $A$ 在此拓扑下完备, $A^{\prime }$ 在此拓扑下 Hausdorff. 设 $u:A\to A^{\prime }$ 为群同态, 且 $u(A_n)\subset A_n^{\prime }$. 若 $u$ 诱导的同态$$u_n:A_n/A_{n+1}\to A_n^{\prime }/A_{n+1}^{\prime }$$均为单射 (或满射), 则 $u$ 亦为单射 (满射).

证明. 若 $u_n$ 均为单射, 则 $\mathrm{Ker}u\cap A_n=\mathrm{Ker}u\cap A_{n+1}$, 对 $n$ 归纳, 有 $\mathrm{Ker}u\subset A_n$. 由于 $A$ 完备, 故 Hausdorff, 即 ${\cap }_n{A}_n=0$, 因此 $\mathrm{Ker}u=0$ (这只需要 $A$ Hausdorff).

若 $u_n$ 均为满射, 对任何 $a^{\prime }\in A^{\prime }$, 均存在 $a_0\in A_0,a_1^{\prime }\in A_1^{\prime }$, 使得 $u(a_0)=a^{\prime }-a_1^{\prime }$. 我们又可取 $a_1\in A_1,a_2^{\prime }\in A_2^{\prime }$, 使得 $u(a_1)=a_1^{\prime }-a_2^{\prime }$. 由于 $A$ 完备, 可令 $a=a_0+a_1+\cdots$, 则 $u(a)-a\in A_n^{\prime }$. 因 $A^{\prime }$ Hausdorff, 故 $u(a)=a$.

$\square$

注 2.4. 这就是 Atiyah 交换代数的引理 10.23. 我们这里的完备同样指 $G\to \hat{G}$ 为同构, 即 Hausdorff 且 Cauchy 列均收敛.

注 2.5. 由于 $A_n$ 是 $A$ 的闭子群, 因此也完备, 故若 $u_n$ 均为满射, 则 $u(A_n)=A_n^{\prime }$.

在 $U_L$ 上有滤链 $U_L^n$. 我们考察其在范数映射下的像.

命题 2.6. 若 $L/K$ 为非分歧扩张, 则 $\mathrm{Nm}(U_L^n)\subseteq U_K^n$.

证明. $n=0$ 的情形由赋值的延拓方式给出; 下虑 $n\ge 1$. 令 $x=1+y$, 其中 $y\in {\mathfrak{p}}_L^n$. 则$$\mathrm{Nm}x=\prod _{s\in G}(1+s(y))\equiv 1+\sum _{s\in G}s(y)\mathrm{mod}{\mathfrak{p}}_L^{2n}.$$(2)由于 $L/K$ 非分歧, ${\mathfrak{p}}_L^n\cap K={\mathfrak{p}}_K^n$, 即证.

$\square$

因此, 范数映射诱导出映射$$N_n:U_L^n/U_L^{n+1}\to U_K^n/U_K^{n+1}.$$对 $n=0$, 在自然同构$$U_L/U_L^1\simeq ({\mathcal{O}}_L/\mathfrak{p}{)}^{\ast }$$之下, 这个映射就是 $\overline{L}/\overline{K}$ 的范数映射.

当 $n\ge 1$ 时, 根据 (2), 如下图表交换$$U_L^n/U_L^{n+1}{U}_K^n/U_K^{n+1}{\mathfrak{p}}_L^n/{\mathfrak{p}}_L^{n+1}{\mathfrak{p}}_K^n/{\mathfrak{p}}_K^{n+1}x\to x-1\simeq {\mathrm{Nm}}_{L/K}x\to x-1\simeq {\mathrm{Tr}}_{L/K}$$设 $\overline{L},\overline{K}$ 为 $L$,$K$ 的剩余域, 则有自然映射$$\begin{array}{r}\overline{L}{\otimes }_{\overline{K}}{\mathfrak{p}}_K^n/{\mathfrak{p}}_K^{n+1}⟶{\mathfrak{p}}_L^n/{\mathfrak{p}}_L^{n+1}\\ \bar{b}\otimes a⟼ba\mathrm{mod}{\mathfrak{p}}_L^{n+1}.\end{array}$$当 $L/K$ 非分歧时, 这是同构. 且因 $\mathrm{Gal}(L/K)\simeq \mathrm{Gal}(\overline{L}/\overline{K})$, 交换图下方的 ${\mathrm{Tr}}_{L/K}$ 实际上等同于 ${\mathrm{Tr}}_{\overline{L}/\overline{K}}\otimes 1$.

对于可分扩张, 迹映射总是满射, 结合引理 2.3 的注记, 我们得到如下的结论:

定理 2.7. 对 $n\ge 1$, $\mathrm{Nm}(U_L^n)=U_K^n$.

由此, 我们对如下交换图表使用蛇引理$$0U_L^1{U}_L{\overline{L}}^{\ast }00U_K^1{U}_K{\overline{K}}^{\ast }0\mathrm{Nm}\mathrm{Nm}\mathrm{Nm}$$就得到$$U_K/\mathrm{Nm}(U_L)\simeq {\overline{K}}^{\ast }/\mathrm{Nm}({\overline{L}}^{\ast })$$对于局部域来说, 后者总是 $0$, 即有限域的有限扩张的范数映射总是满射. 至此我们完成了定理 2.1 的证明.

推论 2.8. 设 $L$ 为 $K$ 的非分歧扩张 (不必有限), 则对 $r>0$, 有 $H^r(G,U_L)=0$.

证明. $$H^r(G,U_L)=\underset{⟶}{\lim }{H}^r(G/N,U_L^N)=0.$$其中 $N$ 历一族正规开子群构成的邻域基, 对应到有限扩张.

$\square$

对于非分歧扩张 $L/K$(不必有限), 依旧考察正合列 (1), 由定理 2.1 我们得到同构$$H^2(G,L^{\ast })\simeq H^2(G,\mathbb{Z}).$$对于平凡的 $G$-模正合列$$0\mathbb{Z}\mathbb{Q}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}0$$我们得到$$H^1(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})H^2(G,\mathbb{Z})\delta \simeq$$根据非齐次余链计算, 有$$H^1(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\simeq \mathrm{Hom}(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$$当 $G$ 为有限循环群时, 这同构于 $G$. 这样的同构依赖于 $G$ 的生成元, 但我们可以典范地选取 Frobenious 元素 $\sigma$. 综合以上映射$$H^2(G,L^{\ast })H^2(G,\mathbb{Z})H^1(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\simeq \mathrm{Hom}(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\mathbb{Q}/\mathbb{Z}{\mathrm{ord}}_L\simeq \delta \simeq f\to f(\sigma )$$(3)我们得到了不变映射 (invariant map)$${\mathrm{inv}}_{L/K}:H^2(L/K)\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$设 $E\supset L\supset K$, 且 $E/K$ 为非分歧扩张 (因此 $L/K$ 也为非分歧扩张), 我们有$$H^2(L/K)\mathbb{Q}/\mathbb{Z}{H}^2(E/K)\mathbb{Q}/\mathbb{Z}{\mathrm{inv}}_{L/K}\mathrm{Inf}\mathrm{id}{\mathrm{inv}}_{E/K}$$这是因为在 (3) 中, 每一项均与 $\mathrm{Inf}$ 可交换. 我们来逐一验证:
(1) $\mathrm{Inf}$ 与 $\mathrm{ord}$ 可交换. 这是因为对于非分歧扩张 $E/K$, 我们有交换图$$L^{\ast }\mathbb{Z}{E}^{\ast }\mathbb{Z}{\mathrm{ord}}_L{\mathrm{ord}}_E$$其中垂直的箭头都是典范的嵌入. 因此我们得到$$H^2(L/K)H^2(\mathrm{Gal}(L/K),\mathbb{Z})H^2(E/K)H^2(\mathrm{Gal}(E/K),\mathbb{Z})$$(2) $\mathrm{Inf}$ 与边界映射交换. 这并不总是成立 (有意义), 然而, 如果下图的两行均正合:$$0M^H{N}^H{P}^{H}00MNP0$$那我们同样有交换图$$H^i(G/H,P^H)H^{i+1}(G/H,M^H)H^i(G,P)H^{i+1}(G,M)\delta \mathrm{Inf}\mathrm{Inf}\delta$$(3) $\mathrm{Inf}$ 与 $H^1$ 的计算交换. 这就是定义, 或者是用余链来计算 $\mathrm{Inf}$ 的结果. 即对平凡的 $G$-模 $M$, $$H^1(G/H,M)\mathrm{Hom}(G/H,M)H^1(G,M)\mathrm{Hom}(G,M)\mathrm{Inf}\simeq \mathrm{Hom}(\cdot ,M)\simeq$$(4) 因为 ${\mathrm{Frob}}_{E/K}{|}_L={\mathrm{Frob}}_{L/K}$.

注 2.9. 这里 $\mathrm{Hom}(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ 指的是连续的群同态.

综合以上讨论, 即得到如下的

定理 2.10. 存在唯一的同构 ${\mathrm{inv}}_K:H^2(K^{un}/K)\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, 使得对有限非分歧扩张 $L/K$, 都有 ${\mathrm{inv}}_K$ 诱导出同构$$H^2(L/K)⟶\frac{1}{[L:K]}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}.$$

3分歧扩张

我们先承认 $H^2(K^{sep}/K^{un})=0$, 这样, 由膨胀-限制正合列$$0H^2(K^{un}/K)H^2(K^{sep}/K)H^2(K^{sep}/K^{un})\mathrm{Inf}\mathrm{Res}$$我们得到 $H^2(K^{sep}/K)\simeq H^2(K^{un}/K)\simeq \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. 我们下面来证明, 若 $L/K$ 为 $n$ 次有限伽罗瓦扩张, 则 $H^2(L/K)$ 在同构下被映到 $\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$.

命题 3.1. 设 $L/K$ 为 $n$ 次有限扩张, 则如下图表交换: $$H^2(K^{un}/K)H^2(L^{un}/L)\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\mathrm{Res}{\mathrm{inv}}_K{\mathrm{inv}}_{L}n$$

证明. 我们需要澄清一下最上方的 $\mathrm{Res}$ 的含义: 它是如下映射的复合$$H^2(\mathrm{Gal}(K^{un}/K),K^{un\ast })H^2(\mathrm{Gal}(K^{un}/K^{un}\cap L),K^{un\ast })H^2(\mathrm{Gal}(L^{un}/L),L^{un\ast })\mathrm{Res}$$其中因 $L^{un}=K^{un}\cdot L$, 故$$\mathrm{Gal}(K^{un}/K^{un}\cap L)\simeq \mathrm{Gal}(L^{un}/L).$$也就是说, 我们只需要处理非分歧和完全分歧的情形. 设 $T=L\cap K^{un}$ 为 $L/K$ 的极大非分歧子扩张.
(1) 我们有如下图表交换$$H^2(K^{un}/K)H^2(\mathrm{Gal}(K^{un}/K),\mathbb{Z})\mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(K^{un}/K),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})H^2(T^{un}/T)H^2(\mathrm{Gal}(K^{un}/T),\mathbb{Z})\mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(K^{un}/T),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\mathrm{Res}\mathrm{Res}\mathrm{Res}$$以及$$\mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(K^{un}/K),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(K^{un}/T),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\mathrm{Res}\chi \to \chi ({\mathrm{Frob}}_K)f\chi \to \chi ({\mathrm{Frob}}_L)$$因为 ${\mathrm{Frob}}_L={\mathrm{Frob}}_K^f$. 即$$H^2(K^{un}/K)H^2(T^{un}/T)\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\mathrm{Res}{\mathrm{inv}}_K{\mathrm{inv}}_{T}f$$(2) 我们有$$T^{un}\mathbb{Z}{L}^{un}\mathbb{Z}.\mathrm{ord}e\mathrm{ord}$$由于 $\mathrm{Gal}(L^{un}/L)\simeq \mathrm{Gal}(T^{un}/T)$, 此表明如下图表交换$$H^2(T^{un}/T)H^2(L^{un}/L)\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}{\mathrm{inv}}_T{\mathrm{inv}}_{L}e$$因 $ef=n$, 这就完成了证明.

$\square$

我们有$$H^2(K^{sep}/K)H^2(K^{un}/K)\mathbb{Q}/\mathbb{Z}{H}^2(L^{sep}/L)H^2(L^{un}/L)\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\mathrm{Res}{\mathrm{inv}}_K\simeq \mathrm{Res}\mathrm{Inf}\simeq n{\mathrm{inv}}_L\simeq \mathrm{Inf}\simeq$$这给出$$0\mathrm{Ker}(\mathrm{Res})H^2(K^{sep}/K)H^2(L^{sep}/L)0\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\mathrm{Res}{\mathrm{inv}}_K\simeq {\mathrm{inv}}_L\simeq n$$若 $L/K$ 为伽罗瓦扩张, 则 $H^2(L/K)\simeq \mathrm{Ker}(\mathrm{Res})$. 因此, $${\mathrm{inv}}_{L/K}:H^2(L/K)\frac{1}{[L:K]}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}.\simeq$$

定义 3.2. 基本类 $u_{L/K}$ 是 $1/n$ 的原像, 即$${\mathrm{inv}}_{L/K}(u_{L/K})=\frac{1}{[L:K]}\mathrm{mod}\mathbb{Z}.$$

根据 Tate 定理, 我们得到

定理 3.3. 对局部域的有限伽罗瓦扩张 $L/K$, 以及 $r\in \mathbb{Z}$, 有同构$$\begin{array}{rl}{H}_T^r(\mathrm{Gal}(L/K),\mathbb{Z})& ⟶H_T^{r+2}(\mathrm{Gal}(L/K),L^{\ast }),\\ x& ⟼x\cup u_{L/K}.\end{array}$$当 $r=-2$ 时, 此即为$$G^{ab}\simeq K^{\ast }/\mathrm{Nm}(L^{\ast }).$$

我们得到了同构$$G^{ab}\simeq K^{\ast }/\mathrm{Nm}(L^{\ast }).$$其逆记作 ${\varphi }_{L/K}$, 即局部 Artin 映射. 如上定义的 Artin 映射并不十分便于计算: 它是某个映射的逆; 这个映射还涉及了负数次的上同调群的杯积. 下面的性质某种意义上更好地刻画了 Artin 映射:

命题 3.4. 对 $\chi \in \mathrm{Hom}(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$, 以及 $a\in K^{\ast }=H^0(G,L^{\ast })$, 有$$\chi ({\varphi }_{L/K}(a))={\mathrm{inv}}_K(a\cup \delta \chi )$$

其中$$\mathrm{Hom}(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})H^2(G,\mathbb{Z}).\delta \simeq$$

注 3.5. 我们自然等同了 $\mathrm{Hom}(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ 与 $\mathrm{Hom}(G^{ab},\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$. 注意这个性质刻画了 ${\varphi }_{L/K}(a)$, 因为我们知道了其与所有线性特征的配对.

证明. 参考 Serre Corps Locaux Chapitre XI §3 Proposition 2.

$\square$

我们终于可以证明开篇的性质 (a),(b) 了:

命题 3.6. 对有限 Galois 扩张 $L\supset E\supset K$, 如下图表交换$$K^{\ast }\mathrm{Gal}(L/K{)}^{ab}\mathrm{Gal}(E/K{)}^{ab}{\varphi }_{L/K}{\varphi }_{E/K}p$$

证明. 对 $\chi \in \mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(E/K),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$, 有$$\begin{array}{rl}\chi (p({\varphi }_{L/K}(a)))& =\mathrm{Inf}(\chi )({\varphi }_{L/K}(a))\\ & ={\mathrm{inv}}_K(a\cup \delta \mathrm{Inf}(\chi ))\\ & ={\mathrm{inv}}_K(a\cup \mathrm{Inf}(\delta \chi ))\\ & ={\mathrm{inv}}_K(\mathrm{Inf}(a\cup \delta \chi ))\\ & ={\mathrm{inv}}_K(a\cup \delta \chi )\\ & =\chi ({\varphi }_{E/K}(a))\end{array}$$第一个等号和第三个等号参考定理 2.10 前的讨论, 第四个等号是因为 $\mathrm{Inf}(x\cup y)=\mathrm{Inf}(x)\cup \mathrm{Inf}(y)$.

$\square$

注 3.7. 取极限, 这自然对不必有限的扩张也成立.

命题 3.8. 若 $L/K$ 为有限非分歧扩张, 则$${\varphi }_{L/K}(a)={\mathrm{Frob}}_{L/K}^{\mathrm{ord}(a)}.$$

证明. 回忆 $\mathrm{inv}$ 的定义: $$H^2(G,L^{\ast })H^2(G,\mathbb{Z})H^1(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\simeq \mathrm{Hom}(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\mathrm{ord}\simeq \delta \simeq f\to f(\sigma )$$(4)$$a\cup \delta \chi \mathrm{ord}(a)\cup \delta \chi \mathrm{ord}(a)\chi \chi ({\sigma }^{\mathrm{ord}(a)})\mathrm{ord}\delta$$比对即得.

$\square$