用户: Fyx1123581347/类域论/整体类域论/单位群上同调

设 $L/K$ 为数域的有限扩张, 其 Galois 群为 $G$. 令 $S\supset S_{\infty }$ 为 $K$ 中素数的有限集合, $T$ 为 $L$ 中在 $S$ 上的素数, 则 $T$ 在 $G$ 作用下稳定, 故 $T$-单位$$U(T)=\{\alpha \in L\mid {\mathrm{ord}}_w(\alpha )=0,\text{对}w\notin T\}$$为 $L^{\times }$ 的 $G$ 子模. 本节的目的是证明如下的

命题 0.1. 若 $G$ 为循环群, 则 $h(U(T))$ 存在, 且$$n\cdot h(U(T))=\prod _{v\in S}{n}_v$$

其中 $n=[L:K]$, $n_v=[L^v:K_v]$.

1一些下降性结果

命题 1.1. 设 $\Omega /k$ 为域扩张, $A$ 为 $k$-代数, $M,N$ 是 $A$ 的有限维表示 (作为 $k$ 线性空间维数有限的 $A$-模), 若有 $A{\otimes }_k\Omega$-模的同构$$M{\otimes }_k\Omega \simeq N{\otimes }_k\Omega ,$$则 $M,N$ 作为 $A$-模同构.

证明. 以下证明取自 THU 数学讨论班群.

显然 $M,N$ 作为 $k$ 向量空间维数相同. 若 $[\Omega :k]<\infty$, 则 $M{\otimes }_k\Omega \simeq M^{[\Omega :k]}$, 根据 Krull–Schmidt 定理, $M\simeq N$.

注意 $M{\otimes }_k\Omega$ 到 $N{\otimes }_k\Omega$ 的 $\Omega$ 同态由一 $n\times n$ 矩阵 $P=(P_{ij})$ 给出, 若要其为 $A{\otimes }_k\Omega$ 同态, 则只需 $P$ 与其他一些固定矩阵满足交换性条件. 若 $P$ 为同构, 可以取逆矩阵 $P^{-1}=(P^{ij})$. 因此, 我们已然有同构$$M{\otimes }_{k}k[P_{ij},P^{ij}]\simeq N{\otimes }_{k}k[P_{ij},P^{ij}].$$张量积的右边是有限生成的 $k$ 代数, 商去极大理想, 我们即化归到 $[\Omega :k]<\infty$.

$\square$

命题 1.2. 设 $G$ 为有限循环群, $M,N$ 是作为 $\mathbb{Z}$-模有限生成的 $G$-模, 且有 $G$-模的同构$$M{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}\simeq N{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q},$$则 $h(M)=h(N)$, 假如其中任何一个存在.

证明. 不妨假设 $M,N$ 无扭, 从而我们能够将 $M,N$ 看成同一个 $\mathbb{Q}$-向量空间中的格, 因此它们互相包含另一个的倍数, 故 $h(M)=h(N)$.

$\square$

命题 1.3. 设 $G$ 是有限循环群, $V$ 是 $G$ 的有限维实表示 (即 $\mathbb{R}[G]$-模), $M,N$ 为在 $G$ 作用下稳定的全子格, 则 $h(M)=h(N)$, 假如其中任何一个存在.

证明. 我们即有作为 $\mathbb{R}[G]$-模的同构$$M{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}\simeq V,N{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}\simeq V.$$根据以上结论, 命题即证.

$\square$