用户: Fyx1123581347/类域论/整体类域论/理元群不变映射

我们证明了 $H^2(\mathrm{Gal}(L/K),C_L$ 的阶数整除 $[L:K]$. 但这还未完成类成原则的验证. 我们还要构造不变同构$$H^2(G_{L|K},C_L)⟶\frac{1}{[L:K]}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$$

设 $L|K$ 为有限 Galois 扩张, $G_{L|K}$ 为 Galois 群. 我们有$$H^2(G_{L|K},I_L)\simeq \underset{\mathfrak{p}}{⨁}{H}^2(G_{L_{\mathfrak{P}}|K_{\mathfrak{p}}},L_{\mathfrak{P}}^{\times }).$$根据局部类域论的结果, 有同构$${\mathrm{inv}}_{L_{\mathfrak{P}}|K_{\mathfrak{p}}}:H^2(G_{L_{\mathfrak{P}}|K_{\mathfrak{p}}},L_{\mathfrak{P}}^{\times })⟶\frac{1}{[L_{\mathfrak{P}}:K_{\mathfrak{p}}]}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\subseteq \frac{1}{[L:K]}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$$

定义 0.1. $${\mathrm{inv}}_{L|K}c=\sum _{\mathfrak{p}}{\mathrm{inv}}_{L_{\mathfrak{P}}|K_{\mathfrak{p}}}{c}_{\mathfrak{p}}\in \frac{1}{[L:K]}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$$

命题 0.2. 若 $N\supset L\supset K$ 为 Galois 扩张, 则

1.	${\mathrm{inv}}_{N|K}c={\mathrm{inv}}_{L|K}c$,
2.	${\mathrm{inv}}_{N|L}({\mathrm{res}}_{L}c)=[L:K]\cdot {\mathrm{inv}}_{N|K}c$,
3.	${\mathrm{inv}}_{N|L}({\mathrm{cor}}_{K}c)={\mathrm{inv}}_{N|L}c$.

定义 0.3. 若 $L|K$ 为阿贝尔扩张, 对 $\mathfrak{a}\in {\mathbb{I}}_K$, 令$$(\mathfrak{a},L|K)=\prod _{\mathfrak{p}}({\mathfrak{a}}_{\mathfrak{p}},L_{\mathfrak{P}}|K_{\mathfrak{p}})\in G_{L|K}$$

引理 0.4. 对 $\chi \in G^{\vee }$, $$\chi (\mathfrak{a},L|K)={\mathrm{inv}}_{L|K}(\mathfrak{a}\cup \delta \chi )\in \frac{1}{[L:K]}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$$

由$$1L^{\times }{\mathbb{I}}_K{C}_{L}1$$及 $H^1(G_{L|K},L^{\times })=1$, 有嵌入$$H^2(G_{L|K},L^{\times })⟶H^2(G_{L|K},{\mathbb{I}}_L).$$

定理 0.5. 若 $c\in H^2(G_{L|K},L^{\times })$, 则 ${\mathrm{inv}}_{L|K}c=0$.

证明. 只需考虑 $K=\mathbb{Q}$ 以及 $L$ 为 $\mathbb{Q}$ 的循环分圆扩张的情形. 事实上, 若 $c\in H^2(G_{L|K},L^{\times })$, 且 $N\supset L$ 为 $\mathbb{Q}$ 的 Galois 扩张, 则$$c\in H^2(G_{L|K},L^{\times })\subseteq H^2(G_{N|K},N^{\times })\subseteq H^2(G_{N|K},{\mathbb{I}}_N),$$$${\mathrm{cor}}_{\mathbb{Q}}c\in H^2(G_{N|\mathbb{Q}},N^{\times })$$$${\mathrm{inv}}_{L|K}c={\mathrm{inv}}_{N|K}c={\mathrm{inv}}_{N|\mathbb{Q}}({\mathrm{cor}}_{\mathbb{Q}}c)$$因此只需要考虑 $K=\mathbb{Q}$ 的情形.

$\square$