用户: Fyx1123581347/Galois群与基本群/拓扑空间的覆叠与基本群/覆叠空间与基本群

(本节主讲人为 x^3+y^3=3axy) 以下所有映射默认为连续映射.

1覆叠空间

设 $X$ 为拓扑空间, 在 $X$ 上的空间 $(Y,p)$ 为映射 $p:Y\to X$. $X$ 上的空间 $(Y_1,p_1),(Y_2,p_2)$ 的态射为 $f:Y_1\to Y_2$, 使得 $p_{2}f=p_1$.

$X$ 上的覆叠为一个 $X$ 上的空间 $(Y,p)$, 使得 $p$ 是满射, 并且 $\forall x\in X$, 存在 $x$ 的开邻域 $V$, 使得 $p^{-1}(V)=\coprod U_i$, $U_i$ 为 $Y$ 中的开集, 且 $p{|}_{U_i}:U_i\to V$ 为同胚.

给定覆叠 $p:Y\to X$, 记 $\mathrm{Aut}(Y/X)$ 为自同构群.

•	设 $I$ 是离散空间, $\pi :X\times I\to X$ 为自然投影, 则这是 $X$ 的一个覆叠, 称为平凡覆叠.
•	$p:Y\to X$ 为覆叠, 等价于 $\forall x\in X$, 存在 $x$ 的开邻域 $V$, 使得 $p:p^{-1}(V)\to V$ 为平凡覆叠.
•	若 $p:Y\to X$ 是覆叠, 则纤维 $p^{-1}(x)$ 是离散的, 且 $\{x\in X\mid |p^{-1}(x)|=|I|\}$ 为开集. 因此这也是闭集. 因此, 如果 $X$ 连通, 则任何两点的纤维等势.
•	假设群 $G$ 在 $Y$ 上有连续作用, 称 $G$ 的作用均匀, 如果对任何 $y\in Y$, 存在 $y$ 的开邻域 $U$, 使得 $gU,g\in G$ 两两不交. 考虑商空间 (轨道空间) $Y/G$, 若 $G$ 的作用均匀, 则自然映射 $p_G:Y\to Y/G$ 是覆叠映射. 事实上, 取 $V=p_G(U)$ 即可.
•	$\mathbb{R}\to \mathbb{R}/\mathbb{Z}\simeq S^1$ 为一个覆叠. 显式的表达为$$t\mapsto e^{2\pi it}.$$

以下假设 $X$ 局部连通, 即每点处有连通的邻域基. 这是为了保证覆叠中总能取到连通的邻域.

命题 1.1. 对任何覆叠 $p:Y\to X$, $Z$ 连通, $f,g$ 是 $Z$ 到 $Y$ 的映射. 若 $p\circ f=p\circ g$, 且存在 $z\in Z$ 使得 $f(z)=g(z)$, 则 $f=g$.

证明. 因 $Y/X$ 分离, 故 $Y\to Y{\times }_{X}Y$ 闭; 因 $Y/X$ 平展, 故 $Y\to Y{\times }_{X}Y$ 开.

$\square$

推论 1.2. $\mathrm{Aut}(Y/X)$ 在 $Y$ 上的作用是自由的.

证明. 设 $Y$ 连通, 取 $Z=Y$, $f=\mathrm{id}$.

$\square$

命题 1.3. 设 $p:Y\to X$ 为连通覆叠, 则 $\mathrm{Aut}(Y/X)$ 在 $Y$ 上的作用是均匀的. 反之, 若 $Y$ 连通, $G$ 在 $Y$ 上作用均匀, 则 $\mathrm{Aut}(Y|Y/G)=G$.

设 $p:Y\to X$ 为连通覆叠, 我们有自然的映射 $Y\to Y/\mathrm{Aut}(Y/X)\to X$. 此时不难得到 $Y/\mathrm{Aut}(Y/X)\to X$ 也是覆叠映射.

定义 1.4. 称 $p:Y\to X$ 为 Galois 覆叠, 如果 $Y$ 连通, 且自然映射 $Y/\mathrm{Aut}(Y/X)\to X$ 为同胚.

命题 1.5. 覆叠 $p:Y\to X$ 为 Galois 当且仅当 $\mathrm{Aut}(Y/X)$ 在纤维 $p^{-1}(x)$ 上的作用 (单) 传递.

例 1.6. 考虑 ${\mathbb{Z}}^n$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上的平移作用, $X={\mathbb{R}}^n/{\mathbb{Z}}^n\simeq {\mathbb{T}}^n$. 对 $m\in \mathbb{Z}$, ${\mathbb{R}}^n$ 中乘以 $m$ 诱导了覆叠 $X\to X$, 这是一个 Galois 覆叠, 自同构群为 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^n$.

定理 1.7. 设 $p:Y\to X$ 为 Galois 覆叠, 记 $G$ 为其自同构群. 对 $G$ 的子群 $H$, ${\bar{p}}_H:Y/H\to X$ 为覆叠映射; 反之, 对连通覆叠 $q:Z\to X$, 满足存在 $f:Y\to Z$, 使得$$YZXfpq$$则 $f:Y\to Z$ 为 Galois 覆叠, $\mathrm{Aut}(Y/Z)\le G$. $H\mapsto Y/H$, $Z\mapsto \mathrm{Aut}(Y/Z)$ 给出 $G$ 的全体子群和 $p:Y\to X$ 的中间覆叠的一对互逆映射. $q:Z\to X$ 为 Galois 等价于 $\mathrm{Aut}(Y/X)$ 为 $G$ 的覆叠, 且 $\mathrm{Aut}(Z/X)\simeq G/\mathrm{Aut}(Y/Z)$.

2基本群

$X$ 上的道路为 $\gamma :[0,1]\to X$. 若 $\gamma (0)=\gamma (1)$, 称 $\gamma$ 为环路. 称两条道路 $f,g$ 同伦, 如果 $f(0)=g(0),f(1)=g(1)$, 且存在 $H:[0,1]\times [0,1]\to X$, $H(0,t)=f(t),H(1,t)=g(t)$. 易见同伦是等价关系, 记作 $f\sim g$.

若 $f(1)=g(0)$, 定义 $f\cdot g:[0,1]\to X$ 为 $f(2t)$ 易见复合与同伦相容.

固定 $x\in X$, 全体 $x$ 处的环路的同伦类记作 ${\pi }_1(X,x)$, 若以道路复合为乘法, 则此构成群, 常值道路类为单位, $f(t)$ 的逆为 $f(1-t)$. 称此为 $(X,x)$ 的基本群.

若存在 $f,f(0)=x,f(1)=y$

若 $X$ 道路连通, 则基本群同构. 称 $X$ 单连通, 如果 $X$ 道路连通且基本群平凡.

3道路与同伦提升

引理 3.1. 设

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