用户: Fyx1123581347/Hartshorne习题/第二章/第七节

7.2 实际上 $\mathbb{P}(V)$ 是 ${\mathbb{P}}^n$ 和 ${\mathbb{P}}^m$ 的线性子簇. 定义的映射都穿过 $\mathbb{P}(V)$. 这转化为线性代数命题: 存在满射将给定的线性子空间映射到给定的线性子空间. 化为 $k^p\subset k^m\subset k^n$ 的情形即得.
7.3 (a) 考虑 $\mathcal{O}(1)$ 的拉回, 由于它被整体截面生成, 或者平凡, 或者丰沛. 平凡则对应常值映射. 丰沛的话说明它也相对丰沛, 因此结构层丰沛, 从而 $\varphi$ 是有限态射. 故 $\dim \varphi ({\mathbb{P}}^n)=n$.
(b) 类似 7.2.
7.4 (a) 拟射影自然分离. 一般相对丰沛也对.
(b) 由于 $k[x]$ 上线丛都平凡, 可以用 Cech 上同调计算 Picard 群. 那么双原点直线的 Picard 群还是 $\mathbb{Z}$. 假设转移函数是 $x^n$, 那么有整体截面需要 $n\ge 0$. 如果 $n>0$, 那么 $x^{n}k[x]$ 是真理想, 因此有基点. 从而只有平凡丛被整体截面生成.
7.5. (a) 注意被整体截面生成的层张量积仍被整体截面生成.
(b) 取 $n>n_0$, 其中 $n_0$ 是使得 $M+mL$ 无基点的 $n_0$. 由这样证明可知, 对足够小的有理数 $a$ 都有 $aM+L$ 丰沛. (c) 明显.
(d) 做 Segre 嵌入, 注意由对角态射论证知所得态射为浸入.
(e) 取 $n_{0}L$ 极丰沛, $mL$ 无基点.

7.6 (a) 参考第五章相关习题. 看来无需 $X$ 光滑.
(b) 只要说明 Picard 群中非平凡的挠元没有非零整体截面. 这是因为主除子都不有效. 若主除子 $\mathrm{div}f\ge 0$, 那么说明 $f$ 处处定义, 从而 $f\in k$. 注意如果是相对情形, 主除子可能有效.
7.7 (a) 写坐标即知.
(b)