用户: Hbghlyj/平移

本文未按照香蕉空间的格式要求写作

在仿射几何中, 平移是将物件的每点向同一方向移动相同距离.

1矩阵表示

例如在三维空间, 使用齐次坐标, $T_{\mathbf{v}}$ 可用矩阵表示为$$T_{\mathbf{v}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& v_x\\ 0& 1& 0& v_y\\ 0& 0& 1& v_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$平移的结果 $T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})$ 就是$$T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})=T_{\mathbf{v}}\mathbf{p}=\left[\begin{array}{c}{p}_x+v_x\\ p_y+v_y\\ p_z+v_z\\ 1\end{array}\right]$$平移的逆矩阵: $T_{\mathbf{v}}^{-1}=T_{-\mathbf{v}}$. 两个平移矩阵的积就是两次平移的结果: $T_{\mathbf{u}}{T}_{\mathbf{v}}=T_{\mathbf{u}+\mathbf{v}}$. 因为向量加法符合交换律, 所以平移群是交换群.