用户: Hbghlyj/Hermite 恒等式

本文未按照香蕉空间的格式要求写作

Hermite 恒等式, 以 Charles Hermite 命名, 是有关取整函数的求和的恒等式.

命题 0.1. 对任意实数 $x$ 和正整数 $n$ 有$$\sum _{k=0}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor =\lfloor nx\rfloor$$

证明. 将 $x$ 分成整数部分和小数部分, $x=\lfloor x\rfloor +\{x\}$. 有唯一的 $k^{\prime }\in \{1,\dots ,n\}$ 使$$\lfloor x\rfloor =\lfloor x+\frac{k^{\prime }-1}{n}\rfloor \le x<\lfloor x+\frac{k^{\prime }}{n}\rfloor =\lfloor x\rfloor +1.$$减去 $x$ 得$$0=\lfloor \{x\}+\frac{k^{\prime }-1}{n}\rfloor \le \{x\}<\lfloor \{x\}+\frac{k^{\prime }}{n}\rfloor =1.$$所以 $1-\frac{k^{\prime }}{n}\le \{x\}<1-\frac{k^{\prime }-1}{n},$

两边乘以 $n$ 得 $n-k^{\prime }\le n\{x\}<n-k^{\prime }+1.$

将 Hermite 等式中的求和在 $k^{\prime }$ 处分为两部分, 变为$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor & =\sum _{k=0}^{k^{\prime }-1}\lfloor x\rfloor +\sum _{k=k^{\prime }}^{n-1}(\lfloor x\rfloor +1)=n\lfloor x\rfloor +n-k^{\prime }\\ & =n\lfloor x\rfloor +\lfloor n\{x\}\rfloor =\lfloor n\lfloor x\rfloor +n\{x\}\rfloor =\lfloor nx\rfloor .\end{array}$$

$\square$