用户: Hbghlyj/Möbius 变换

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Möbius 变换是一类从 Riemann 球面映射到自身的函数. 用扩展复平面上的复数表示的话, 其形式为: $$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$其中 $z,a,b,c,d$ 为满足 $ad-bc\ne 0$ 的复数.

Möbius 变换可以分解为以下几个变换: 平移、旋转、反演. Möbius 变换是以数学家 August Ferdinand Möbius 的名字命名的, 它也叫做分式线性变换, 且它是二维整体共形变换中恒等变换的连通分支.

1性质

群结构

(...)

Möbius 变换 $f$ 的逆变换就是: $$f^{(-1)}(z)=g_1\circ g_2\circ g_3\circ g_4(z)=\frac{dz-b}{-cz+a}$$

作为群作用, 它满足如下传递性. 给定平面上三个不同点 $z_1,z_2,z_3$, 存在着唯一的一个 Möbius 变换 $f$, 使得 $f(z_1),f(z_2),f(z_3)$ 分别等于 $0,1,\infty$. 这个 Möbius 变换就是: $$f(z)=\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}$$而由于对于另外的三个不同点 $w_1,w_2,w_3$, 也唯一存在一个 Möbius 变换 $g$, 使得 $g(w_1),g(w_2),g(w_3)$ 分别等于 $0,1,\infty$. 因此, 对于任意一组出发点 $z_1,z_2,z_3$, 任意一组到达点 $w_1,w_2,w_3$, 都唯一存在一个 Möbius 变换, 将 $z_1,z_2,z_3$ 分别映射到点 $w_1,w_2,w_3$. 作为推论, 如果一个 Möbius 变换有三个不动点, 那么它是恒等变换.

分解

命题 1.1. 一个形如$$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$的 Möbius 变换可以分解成四个变换:

$f_1(z)=z+d/c$ (按 $d/c$ 做平移变换) ;

$f_2(z)=1/z$ (关于单位圆做反演变换然后关于实数轴做镜面反射) ;

$f_3(z)=(-(ad-bc)/c^2)\cdot z$ (做关于原点的位似变换然后做旋转) ;

$f_4(z)=z+a/c$ (按 $a/c$ 做平移变换) .

这四个变换的复合就是 Möbius 变换: $$f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1(z)=f(z)=\frac{az+b}{cz+d}.$$

不变量

由于 Möbius 变换可以分解为平移、反演、位似与旋转变换, 因此能够保持所有反演变换的性质.

命题 1.2 (保角性). 由于平移、反演、位似与旋转变换都保持角度不变, 因此两个复数 (或向量) 之间的幅角差 (夹角) 在经过莫比乌斯变换后不变.

定义 1.3. 广义圆是指 Riemann 球面上的圆, 包括普通的圆形和带无穷远点的直线 (可以认为是一个半径无限大的圆) .

命题 1.4. 一个广义圆经过 Möbius 变换后, 仍会映射到一个广义圆.

这也是反演保持广义圆的结果. 当然 Möbius 变换并不是将圆映射到圆, 将直线映射到直线, 经过映射后直线可能变成圆, 圆也可能变成直线.

Möbius 变换也可以保持复数的交比不变. 设有四个两两不同的复数 $z_1,z_2,z_3,z_4$, 对应扩充复平面上四个不同的点, 它们经过 Möbius 变换后变成 $w_1,w_2,w_3,w_4$ 四点, 那么交比: $$\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)}=\frac{(w_1-w_3)(w_2-w_4)}{(w_2-w_3)(w_1-w_4)}.$$