用户: Ice1000/Sylvester 问题

定理 0.1. 平面上有有限个红点, 不全在一条直线上, 证明存在一条直线, 恰好只过其中两个点.

证明. 这平面上的有限个点的集合记为 $P$, 其个数为 $n$. 因为 $P$ 中的点不在同一直线上, 所以 $n\ge 3$. 由于 $n$ 有限, 所以通过 $P$ 中点中两个点或两个以上点的直线必为有限条, 所有这些直线构成的集合记为 $L$. 对于 $L$ 中每条直线, 其外必有 $P$ 中的一些点. 因此集合 $R=\{(p,l)\mid l\in L,p\notin l,p\in P\}$ 不为空, 且元素个数有限. 记 $d^{\ast }=\min \{\mathrm{dist}(p,l)\mid (x,l)\in R\}$, 相应的点和直线分别为 $p^{\ast }$ 和 $l^{\ast }$(如果有多组则任取一组), 其中 $\mathrm{dist}(p,l)$ 表示点 $p$ 到直线 $l$ 的距离. 如果 $l^{\ast }$ 恰好经过 $P$ 中的两点, 那么结论得证. 否则, 从点 $p^{\ast }$ 向直线 $l^{\ast }$ 引垂线, 垂足记为 $q$ (因为 $p$ 加一个下标前面都在表示集合 $P$ 的元素).

根据抽屉原理, 直线 $l^{\ast }$ 上在 $q$ 的某一侧必含有 $P$ 中的两个点, 按离 $q$ 的距离由小到大依次记为 $p_2$ 和 $p_3$($q$ 和 $p_2$ 可能重合). 则有$$\begin{array}{r}\mathrm{dist}(p_2,p^{\ast }{p}_3)\le \mathrm{dist}(q,p^{\ast }{p}_3)<\mathrm{dist}(p^{\ast },l^{\ast })=d^{\ast }.\end{array}$$这与 $d^{\ast }$ 的最小性质矛盾.

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出处: 百度知道, http://zhidao.baidu.com/question/461965991/answer/1145905635