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1饱和意象

定义 1.1. 意象 $\mathcal{X}$ 是饱和的, 若 $\mathcal{X}$ 中的满射在序列极限下封闭, 即, 若 $F:{\mathbb{N}}^{\text{op}}\to \mathcal{X}$ 为图, s.t. 对每个 $n$, 有 $F_{n+1}\twoheadrightarrow F_n$, 则 $\text{lim}F\twoheadrightarrow F_n,\forall n$.

引理 1.2. 若 $\mathcal{X}$ 为饱和意象, $X\in \mathcal{X}$, 则 ${\mathcal{X}}_{/X}$ 为饱和意象.

引理 1.3. 意象 $\mathcal{X}$ 是饱和的 $⟺$ 存在一个满射 $X\twoheadrightarrow 1$ 且 ${\mathcal{X}}_{/X}$ 是饱和的.

例 1.4. 设 $k$ 为域, 固定一个可分闭包 $\overline{k}$. 则 $\mathcal{X}=\text{Shv}(\text{Spec}(k{)}_{\text{eˊt}})$ 是饱和的, 当且仅当 $\overline{k}/k$ 为有限扩张.

引理 1.5. 设 $\mathcal{X}$ 为饱和意象, $F\to G$ 为 $\text{Fun}({\mathbb{N}}^{\text{op}},\mathcal{X})$ 中的一个映射. 设对任意的 $i$, 诱导的映射 $F_i\to G_i$ 及 $F_{i+1}\to F_i{\times }_{G_i}{G}_{i+1}$ 为满射, 则 $\text{lim}F\to \text{lim}G$ 是满射.

命题 1.6. 在饱和意象中, 可数乘积是正合的, 即有: 对任意的 $n$,$F_n\twoheadrightarrow G_n$, 则有 ${\prod }_n{F}_n\twoheadrightarrow {\prod }_n{G}_n$.

命题 1.7. 若 $\mathcal{X}$ 为一个饱和意象, 且对 $F:{\mathbb{N}}^{\text{op}}\to \text{Ab}(\mathcal{X})$ 有: $F_{n+1}\twoheadrightarrow F_n$, 对每个 $n$, 则有: $\text{Rlim}{F}_n\simeq \text{lim}{F}_n.$

命题 1.8. 设 $\mathcal{X}$ 为饱和意象, $F:{\mathbb{N}}^{\text{op}}\to \mathcal{X}$, 则 $\text{lim}F$ 上同调维数为 1.

2局部弱可缩意象

定义 2.1. 设 $\mathcal{X}$ 为意象. $F\in \mathcal{X}$ 称为弱可缩, 若每个满射 $G\twoheadrightarrow F$ 都有截面. 称意象 $\mathcal{X}$ 是局部弱可缩的, 若 $\mathcal{X}$ 有足够的弱可缩凝聚对象, 即: 对每个 $X\in \mathcal{X}$, 有满射 ${\cup }_i{Y}_i\twoheadrightarrow X$, 其中每个 $Y_i$ 都是凝聚弱可缩对象.

例 2.2. 意象 $\mathcal{X}=\text{Set}$ 是局部弱可缩的: 单点集是弱可缩凝聚对象.

命题 2.3. 设 $\mathcal{X}$ 是局部弱可缩意象. 则有:

(1)	$\mathcal{X}$ 是饱和意象.
(2)	导出范畴 $D(\mathcal{X})=D(\mathcal{X},\mathbb{Z})$ 是紧生成的.
(3)	Postnikov 塔在与之相关联的超完备无穷意象中收敛.

3导出范畴, Postnikov 塔及上同调下降