用户: Infinitecat/一些笔记/Delta环

定义 0.1. $\delta$-环是 $(R,\delta )$, 其中 $R$ 是交换环, $\delta :R\to R$ 是集合间的映射, 满足:

•	$\delta (0)=\delta (1)=0.$
•	$\delta (xy)=x^p\delta (y)+y^p\delta (x)+p\delta (x)\delta (y).$
•	$\delta (x+y)=\delta (x)+\delta (y)+\frac{x^p+y^p-(x+y{)}^p}{p}.$

$\delta$-环同态 $f:(R,\delta )\to (R^{\prime },{\delta }^{\prime })$ 为环同态 $f：R\to R^{\prime }$, 且有 $f\delta ={\delta }^{\prime }f$.
我们也将 $\delta$-结构称作 $p$-导数.
定义 $\varphi (x):=x^p+p\delta (x)$, 则 $\varphi :R\to R$ 为环的自同态.

考虑 Witt 环 $W_2(R)$, 其作为集合为 $R\times R$, 其环结构如下给出:

•	$(x,y)+(x^{\prime },y^{\prime })=(x+x^{\prime },y+y^{\prime }+\frac{x^p+x^{\prime p}-(x+x^{\prime }{)}^p}{p}).$
•	$(x,y)(x^{\prime },y^{\prime })=(x{x}^{\prime },x^p{y}^{\prime }+x^{\prime p}y+py{y}^{\prime }).$

定义一个环同态 $ϵ:W_2(R)\to R;(x,y)\mapsto x.$ 则我们有:

命题 0.2. $R$ 上的 $\delta$-结构和使得 $ϵ\circ w=1_R$ 的环同态 $w:R\to W_2(R)$ 一一对应.

定义 0.3. $R$ 为环, 环同态 $\varphi :R\to R$ 称作 Frobenius 提升, 若$$RRR/pRR/pR\varphi F$$交换, 其中 $F$ 为环 $R/pR$ 的 Frobenius 自同态.

注 0.4. 若环 $R$ $p$-无扭, 则 $R$ 上的 $\delta$-结构和 $R$ 上的 Frobenius 提升一一对应.

命题 0.5. 我们记 $\delta \text{-Ring}$ 为 $\delta$-环范畴, $\text{Ring}$ 为通常的环范畴. 从而我们有忘却函子 $\text{fgt}:\delta \text{-Ring}\to \text{Ring}$. 该忘却函子既有左伴随, 又有右伴随:

•	右伴随为 $W:\text{Ring}\to \delta \text{-Ring};A\mapsto W(A).$

例 0.6. ${\mathbb{Z}}_{(p)}=\left\{\frac{a}{b}{p}^n\mid p\nmid a,b,且n\ge 0\right\}$. ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ 有唯一的 $\delta$-结构 $\delta (x)=\frac{x-x^p}{p}.$ 对 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ 中的任意非单位 $x$, 有$$v_p(\delta (x))=v_p(x)-1.$$从而有 ${\delta }^n(p^n)$ 始终为 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ 中的单位.

引理 0.7. A 为一个 $\delta$-环, $I$ 为 $A$ 的一个理想, 则 $\delta (I)\subset I$ 当且仅当 $A/I$ 上存在与 $A$ 上 $\delta$-结构相容的 $\delta$-结构.

证明: 只证明一个方向. 若 $a\in A$, $f\in I$, 则有 $\delta (a)\equiv \delta (a+f)\text{mod}I$. 这是因为 $\delta (a+f)-\delta (a)=\delta (f)+\frac{a^p+f^p-(a+f{)}^p}{p}$. 我们由假设有 $\delta (f)\in I$, 而 $\frac{a^p+f^p-(a+f{)}^p}{p}\in I$ 是因为 $f\in I$ 而 $I$ 是理想.

$\square$

引理 0.8 (自由 $\delta$-环). 环 ${\mathbb{Z}}_{(p)}\{x\}$ 是 $\{x,\delta (x),{\delta }^2(x),\cdots \}$ 上的多项式环, 且其 Frobenius 自同态 $\varphi :{\mathbb{Z}}_{(p)}\{x\}\to {\mathbb{Z}}_{(p)}\{x\}$ 是忠实平坦的. 环 $\mathbb{Q}\{x\}={\mathbb{Z}}_{(p)}\{x\}[\frac{1}{p}]$ 也是 $\{x,\delta (x),{\delta }^2(x),\cdots \}$ 上的多项式环.

证明: 待完善

注 0.9. 对一个 $\delta$-环 $R$, 有一个映射 $w:R\to W(R)$, 其中 $W(R)$ 为 $p$-典型 Witt 向量环, 对任意 $x\in R$, 我们把 $w(x)$ 写作: $$w(x)=({\delta }_0(x),{\delta }_1(x),{\delta }_2(x),\cdots ).$$则 ${\delta }_0(x)=x,{\delta }_1(x)=\delta (x).$

引理 0.10 (局部化). $A$ 为 $\delta$-环, $S\subset A$ 为乘性子集且 $\varphi (S)\subset S$. 则局部化 $S^{-1}A$ 上有唯一的与 $A\to S^{-1}A$ 相容的 $\delta$-结构. 且有泛性质: 对 $\delta$-环间的映射 $A\to B$, 满足 $S$ 在该映射下的像在 $B$ 中可逆的条件, 则该映射穿过 $S^{-1}A$.

引理 0.11 (完备化). $A$ 为 $\delta$-环, $I$ 是 $A$ 中包含 $p$ 的有限生成理想, 则 $\delta :A\to A$ 是 $I$-进连续的, 即对任意的 $n$, 存在 $m$, 使得对任意 $x\in A$, 有 $\delta (x+I^m)\subset \delta (x)+I^n$. 且 $\hat{A}=\underleftarrow{\text{lim}}A/I^{n}A$ 上有唯一的与 $A$ 上 $\delta$-结构相容的 $\delta$-结构.

定义 0.12. $A$ 为 $\delta$-环, 称 $d\in A$ 是特异元, 若 $\delta (d)\in A^{\times }.$

引理 0.13.

•	$A$ 为 $\delta$-环,$d\in A$ 特异元, $u\in A^{\times }$, $d,p\in \text{rad}(A)$, 则 $ud$ 特异元.
•	$A$ 为 $\delta$-环, $d\in A$ 特异元, 且 $d=fh$, $f,p\in \text{rad}(A)$, 则 $f$ 特异元, $h\in A^{\times }.$

引理 0.14. $A$ 为 $\delta$-环, $d,p\in \text{rad}(A)$, 则 $d$ 特异元当且仅当 $p\in \left(d,\varphi (d)\right)$.

定义 0.15. $\delta$-环 $A$ 是完美的, 若 $\varphi :A\to A$ 是一个同构.

注 0.16 (完美化). 完美 $\delta$-环范畴到 $\delta$-环范畴的包含函子既有左伴随, 又有右伴随. 其

•	左伴随为 $A\mapsto A_{\text{perf}}:=\underrightarrow{\text{lim}}(A\stackrel{\varphi }{\to }A\stackrel{\varphi }{\to }A\stackrel{\varphi }{\to }\cdots ).$
•	右伴随为 $A\mapsto A^{\text{perf}}:=\underleftarrow{\text{lim}}(A\stackrel{\varphi }{\to }A\stackrel{\varphi }{\to }A\stackrel{\varphi }{\to }\cdots ).$

引理 0.17 ($\delta$-环中的 $p$-扭). $\delta$-环 $A$ 是 $p$-无扭的, 若下列条件之一成立:

•	$\varphi :A\to A$ 是单同态.
•	$A$ 既约.

证明: 我们证明一个更强的结论: 对 $x\in A$, $px=0$, 能够推出 $\varphi (x)=0.$$$\begin{array}{rl}0=\delta (px)& =p^p\delta (x)+x^p\delta (p)+p\delta (p)\delta (x)\\ & =p^p\delta (x)+\varphi (x)\delta (p).\end{array}$$由于 $\delta (p)=1-p^{p-1}$ 为单位, 从而只需证 $p^p\delta (x)=0.$ 又$$\begin{array}{r}{p}^p\delta (x)=p^{p-1}(\varphi (x)-x^p)=\varphi (p^{p-1}x)-p^{p-1}{x}^p,\end{array}$$由于 $px=0$, 从而 $p^p\delta (x)=0.$
现在假设 $A$ 为既约 $\delta$-环, $x\in A$, $px=0$, 由前面可知: $\varphi (x)=0,p^p\delta (x)=0$, 从而 $(p\delta (x){)}^p=0$, 由于 $A$ 既约, 则 $p\delta (x)=0$, 故由 $\varphi (x)=x^p+p\delta (x)=0$, 我们得 $x^p=0$, 再由 $A$ 的既约性, $x=0$.

$\square$

注 0.18. 我们知道, 对特征 $p$ 的环 $A$,$A$ 既约当且仅当其 Frobenius 自同态 $\varphi :A\to A$ 是单射. 但对一般的环 $A$, $\varphi :A\to A$ 为单射和 $A$ 相互都不能推出. 例如:

•	$A={\mathbb{Z}}_p[x]/(x^p-1)$. $A$ 上由唯一的 $\delta$-结构 $\varphi (x)=x^p=1$, 从而 $\varphi (x-1)=0$, 故 $\varphi$ 不为单射, 但 $A$ 是既约环.
•	$B={\mathbb{Z}}_p[x]/(x^2)$ 不既约, 但其 Frobenius 自同态 $\varphi (x)=px$, 从而对任意的 $a,b\in {\mathbb{Z}}_p$, 有 $\varphi (a+bx)=\varphi (a)+p\varphi (b)x$ 为单射.