用户: Infinitecat/一些笔记2/既约环

定义 0.1 (既约环). 环 $R$ 称作既约环, 若 $R$ 没有非 0 幂零元. 环上的代数称作既约代数, 若该代数的底环是既约环.

例 0.2.

•	环 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 是既约环, 但 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 不是既约环, 因为 $2+4\mathbb{Z}$ 是非 0 幂零元. 一般的, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是既约环当且仅当 $n=0$ 或者 $n$ 无平方因子.
•	$R$ 是特征 $p$ 的交换环, 则 $R$ 是既约环当且仅当其 Frobenius 自同态 $\phi :R\to R$ 是单射.
•	定义 $\text{Nil}(R)=\left\{R的幂零元\right\}$, 则商环 $R/\text{Nil}(R)$ 是既约环.
•	整环都是既约环.