用户: Infinitecat/一些笔记3/平坦模谱

定义 0.1. 设 $R$ 为 ${\mathbb{E}}_1$-环, $M$ 为左 $R$-模, 称 $M$ 平坦, 若

•	${\pi }_{0}M$ 为平坦左 ${\pi }_{0}R$-模.
•	$\forall n\in \mathbb{Z}$, ${\pi }_{n}R{\otimes }_{{\pi }_{0}R}{\pi }_{0}M\cong {\pi }_{n}M$.

命题 0.2.

(1)	平坦左 $R$-模在余乘积, 收缩, 滤余极限下封闭.
(2)	自由左 $R$-模为平坦左 $R$-模.
(3)	若 $R$ 连合, 则投射左 $R$-模为平坦左 $R$-模.
(4)	若 $N$ 为平坦左 $R$-模, 则对任意 $n$, ${\pi }_n(M{\otimes }_{R}N)\cong {\pi }_n(M){\otimes }_{{\pi }_0(R)}{\pi }_0(N)$.
(5)	若 $M,N,R$ 连合, 则 $M{\otimes }_{R}N$ 连合, 且 ${\pi }_0(M{\otimes }_{R}N)\cong {\pi }_0(M){\otimes }_{{\pi }_0(R)}{\pi }_0(N)$.

定理 0.3 (Lazard 定理). 设 $R$ 为连合 ${\mathbb{E}}_1$-环, $N$ 为连合左 $R$-环, 下面的命题等价:

(1)	$N$ 可写为有限生成自由左模的滤余极限.
(2)	$N$ 可写为投射左模的滤余极限.
(3)	$N$ 平坦.
(4)	函子 $M\mapsto M{\otimes }_{R}N$ 左 t-正合, 即: 若 $M\in ({\text{RMod}}_R{)}_{\le 0}$, 则 $M{\otimes }_{R}N\in {\text{Sp}}_{\le 0}.$
(5)	若 $M$ 离散, 则 $M{\otimes }_{R}N$ 离散.

设 $R$ 为 ${\mathbb{E}}_1$-环, 关于平坦左 $R$-模 $M$ 的一个重要观点是: $M$ 作为模谱, 其 " 整体性质 "$M$ 完全由 “局部性质”${\pi }_{0}M$ 所控制, 这也正好体现了所谓的 “平坦性”. 下面的命题即是这一观点的佐证:

命题 0.4.

(1)	$f:M\to N$ 为平坦左 $R$-模之间的同态, 则 $f$ 等价 $⟺$ ${\pi }_{0}M\to {\pi }_{0}N$ 为同构.
(2)	设 $R$ 为连合 ${\mathbb{E}}_1$-环, 则平坦左 $R$-模是投射的 $⟺$ ${\pi }_{0}M$ 是投射 ${\pi }_{0}R$-模.