用户: Infinitecat/一些笔记3/超完备层

定义 0.1. $\mathcal{X}$ 为无穷意象, $0\le n\le \infty$, $f:X\to Y$ 为 $\mathcal{X}$ 中的态射.

•	称 $f$ $n$-连合, 若 $f$ 为有效满态射, 且 ${\pi }_k(f)\simeq \ast ,0\le \forall k<n$.
•	称 $X\in \mathcal{X}$ $n$-连合, 若 $f:X\to 1_{\mathcal{X}}$ 为 $n$-连合, 其中 $1_{\mathcal{X}}$ 为 $\mathcal{X}$ 的终对象.
•	称 $X\in \mathcal{X}$ 连通, 若 $X$ 为 $1$-连合, 即截断 ${\tau }_{\le 0}X$ 为 $\mathcal{X}$ 的终对象.

命题 0.2.

•	$X\in \mathcal{X}$, $n\ge -1$, 则 $X$ $n$-连合 $⟺$ ${\tau }_{\le n-1}X\simeq \ast$.
•	$\left\{\mathcal{X}中的n\text{-连合对象}\right\}$ 在有限乘积下封闭.
•	$X,Y\in \mathcal{X}$, 其中 $Y$ 为 $n$-截断对象, 则: $${\text{Map}}_{\mathcal{X}}(X,Y)\simeq {\text{Map}}_{\mathcal{X}}({\tau }_{\le n}X,Y).$$
•	$X$ 为 $(n+1)$-连合对象 $⟺$ 对任意 $n$-截断对象 $Y$, 有$${\text{Map}}_{\mathcal{X}}(1_{\mathcal{X}},Y)\simeq {\text{Map}}_{\mathcal{X}}(X,Y).$$

命题 0.3. 设 $\mathcal{X}$ 为无穷意象.

(1)	$f:M\to N$ 为态射, 若 $f$ $n$-连合, 则对任意 $m\le n$, $f$ 为 $m$-连合. 反之, 若对任意 $n<\infty$, $f$ 为 $n$-连合, 则 $f$ 为 $\infty$-连合.
(2)	$\mathcal{X}$ 中任一等价都为 $\infty$-连合.
(3)	$f,g:X\to Y$ 为同伦态射, 则 $f$ 为 $n$-连合 $⟺$ $g$ 为 $n$-连合.
(4)	设 ${\pi }^{\ast }:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$, ${\pi }_{\ast }:\mathcal{Y}\to \mathcal{X}$, ${\pi }^{\ast }$ 为 ${\pi }_{\ast }$ 的左伴随, 若 $f$ 为 $\mathcal{X}$ 中的 $n$-连合, 则 ${\pi }^{\ast }f$ 为 $\mathcal{Y}$ 中的 $n$-连合.