用户: Jin1/度量联络

丛上附加的结构决定了一类合适的联络, 有时甚至是唯一的联络. Riemann 几何的一个基础事实就是 Levi-Civita 联络的存在唯一性.

所谓丛上的结构可由结构群描述. 以向量丛为例, 下表列举了几种结构对应的结构群.

向量丛上的结构	结构群
(无)	$\mathrm{GL}(n)$
定向	${\mathrm{GL}}^{+}(n)$
度量	$\mathrm{O}(n)$
体积形式	$\mathrm{SL}(n)$

对于向量丛上每一种结构群有对应的标架丛, 例如 $\mathrm{O}(n)$-结构对应标准正交标架丛.

若一个向量丛带有 $G$-结构, 那么其标架丛是 $G$-主丛.

定理 0.1. 带有 $G$-结构的光滑向量丛上与 $G$ 相容的联络一一对应于其标架丛上的 $G$-主联络.

推论 0.2. 每个带有 $G$-结构的光滑向量丛都具有与 $G$ 相容的联络.

实际上, “标架” 并非向量丛的专利. 若纤维丛 $E\to M$ 具有有限维的结构丛 $G$, 其 “标架丛” 是一个 $G$-主丛, 每个点上的纤维是由 $E$ 的纤维与标准纤维 $F$ 的某些同胚构成. 从而上述结论可推广到一般的纤维丛.