用户: Jin1/流形的代数刻画

参考 Jet Nestruev, Smooth Manifolds and Observables, 第三章

在本文中, $\mathbb{R}$ 代数指的是 $\mathbb{R}$ 上的交换结合代数.

对于 $\mathbb{R}$ 代数 $\mathcal{F}$, 定义对偶空间 $M=|\mathcal{F}|$ 是所有 $\mathbb{R}$ 代数同态 $\mathcal{F}\to \mathbb{R}$(也称作 $\mathcal{F}$ 的 $\mathbb{R}$-点) 的集合.

我们想象 $\mathcal{F}$ 是一个空间上的函数构成的代数. 为了实现这个想法, 我们定义 $\mathbb{R}$ 代数$$\tilde{\mathcal{F}}=\{\tilde{f}:M\to \mathbb{R},\exists f\in \mathcal{F}\forall x\in M,\tilde{f}(x)=x(f)\}.$$

容易看到, 映射 $\tau :\mathcal{F}\to \tilde{\mathcal{F}},f\mapsto (x\mapsto x(f))$ 是 $\mathbb{R}$ 代数的满同态, 但它不一定是单的. 一个著名的例子是 $\mathcal{F}=\mathbb{R}[x]/(x^2)$, 此时 $M$ 只有一个点, $\tilde{\mathcal{F}}\simeq \mathbb{R}$.

注意到$$\begin{array}{rl}f\in \ker \tau & ⟺\forall x\in M,x(f)=0\\ & ⟺f\in \bigcap _{x\in M}\ker x\end{array}$$记 $\mathcal{I}(\mathcal{F})={\bigcap }_{x\in M}\ker x$(即 Jacobson 根), 那么 $\mathcal{F}\simeq \tilde{\mathcal{F}}$ 当且仅当 $\mathcal{I}(\mathcal{F})=0$. 此时称 $\mathcal{F}$ 是几何的. 对于几何的 $\mathcal{F}$, 一个 “函数”$f$ 等于 $0$ 当且仅当它在 $M$ 的所有点上取值为 $0$. 即点上的取值完全决定了一个函数.

例 0.1.

•	多项式代数 $\mathbb{R}[x_1,\cdots ,x_n]$ 是几何的, 因为一个多项式完全由它在每一点的取值所决定.
•	商代数 $\mathbb{R}[x_1,\cdots ,x_n]/(f)$ 是几何的当且仅当 $f$ 不可约.
•	形式幂级数代数 $\mathbb{R}[[x_1,\cdots ,x_n]]$ 不是几何的, 因为 $\mathbb{R}[[x]]$ 到 $\mathbb{R}$ 唯一的同态是将 $x$ 对应到 $0$, 何况多元的形式幂级数.
•	一个流形上光滑函数的代数是几何的 (参考紧支集光滑函数的构造).

定理 0.2. 对任意 $\mathbb{R}$ 代数 $\mathcal{F}$, $\mathcal{F}/\mathcal{I}(\mathcal{F})$ 是几何的, 且 $|\mathcal{F}|=|\mathcal{F}/\mathcal{I}(\mathcal{F})|$.

这个定理几乎是套套逻辑 (tautology): 首先, $\mathcal{F}$ 到 $\mathbb{R}$ 的同态必然零化 $\mathcal{I}(\mathcal{F})$, 因此 $\mathcal{F}$ 到 $\mathbb{R}$ 的同态与 $\mathcal{F}/\mathcal{I}(\mathcal{F})$ 到 $\mathbb{R}$ 的同态是一回事. 这意味着 $|\mathcal{F}|=|\mathcal{F}/\mathcal{I}(\mathcal{F})|$.

其次, 由定义, $\mathcal{I}(\mathcal{F})$ 就是那些在每个 “点” 都取 $0$ 的 “函数” 的集合. 而 $\mathcal{I}(\mathcal{F})$ 的元素在 $\mathcal{F}/\mathcal{I}(\mathcal{F})$ 中等于 $0$. 这就是说, 在 $\mathcal{F}/\mathcal{I}(\mathcal{F})$ 中的元素, 只要在每个 “点” 都取 $0$, 它本身就是 $0$. 这表示 $\mathcal{F}/\mathcal{I}(\mathcal{F})$ 是几何的.

 

现在, $M$ 还是一片不毛之地, 连拓扑都没有. 对于几何的 $\mathcal{F}$, 我们来给它一个拓扑.

从物理上看, 一个系统的两个状态很接近, 等价于任何一个观测对它们给出的值都很接近. 用拓扑学的语言, 我们赋予 $M$ 如下的开集基:$$f^{-1}(V),\text{ 其中 }f\in \mathcal{F},V\subset \mathbb{R}\text{ 是开集}.$$请注意: 记号 $f^{-1}$ 有意义是因为, 对于几何的情形, $f$ 可视为 $M$ 上的函数. 抽象地说, $M$ 的拓扑是所有映射 $f:M\to \mathbb{R}$ 确定的始拓扑 (使这些映射连续的最弱拓扑).

命题 0.3. $M$ 是一个 Hausdorff 空间.

这个结论本质上是 $\mathcal{F}$ 可区分点的性质, 即对于不同的 $x,y\in M$, 存在 $f\in \mathcal{F}$, $f(x)\ne f(y)$. 而这又是套套逻辑.

命题 0.4. 设 ${\mathcal{F}}_0$ 是拓扑空间 $M_0$ 上实值连续函数代数的子代数, 那么映射$$\theta :M_0\to |{\mathcal{F}}_0|,a\mapsto (f\mapsto f(a))$$是连续的.

这个结论来自始拓扑的泛性质: 对任意 $f\in {\mathcal{F}}_0$, 有如下交换图.

例 0.5. 现在来看一些空间的例子.

•	$\mathcal{F}=\mathbb{R}[x,y]/(xy)$, $M$ 是两个坐标轴.
•	$\mathcal{F}=\mathbb{R}[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2-1)$, $M=S^2$. 由于这个例子中的 $\mathcal{F}$ 作为 $\mathbb{R}$ 代数是由 $x,y,z$ 生成的, 因此 $M$ 的拓扑是这三个映射决定的始拓扑, 而这正是 ${\mathbb{R}}^3$ 的子空间拓扑.
•	$\mathcal{F}=C^{\infty }(U)$, 其中 $U$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 的开集, 那么 $M=U$. (证明略.)
•	$\mathcal{F}=\{f\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^2):f(x,y)=f(x+1,y)=f(x,y+1)\}$, $M$ 是环面 ${\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$.
•	$\mathcal{F}=\{f\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^3\setminus 0):f(x,y,z)=f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)\forall \lambda \in \mathbb{R}\setminus 0\}$, $M\simeq \mathbb{R}{P}^2$.

命题 0.6. 设 ${\mathcal{F}}_1,{\mathcal{F}}_2$ 是几何的 $\mathbb{R}$ 代数, $\phi :{\mathcal{F}}_1\to {\mathcal{F}}_2$ 为 $\mathbb{R}$ 代数同态, 定义$$|\phi |:|{\mathcal{F}}_2|\to |{\mathcal{F}}_1|,x\mapsto x\circ \phi ,$$则 $|\phi |$ 为连续映射.

这个结论同样来自始拓扑的泛性质: 对任意 $f\in {\mathcal{F}}_1$ 有如下交换图.

因此, $\mathcal{F}\mapsto |\mathcal{F}|$ 是几何的 $\mathbb{R}$ 代数到 Hausdorff 空间的反变函子.

现在我们离以代数方式刻画流形的伟大计划已经不远了.

我们还需要一个技术性的工具, 限制.

定义 0.7. 对于几何 $\mathbb{R}$ 代数 $\mathcal{F}$ 与 $|\mathcal{F}|$ 的任意子集 $A$, $\mathcal{F}$ 在 $A$ 上的限制 $\mathcal{F}{|}_A$ 由满足如下条件的映射 $f:A\to \mathbb{R}$ 构成: 其在 $A$ 的每个局部可由 $\mathcal{F}$ 中某个函数的限制得到.

注意在定义中我们不要求 $f:A\to \mathbb{R}$ 整体上可由 $\mathcal{F}$ 中某个函数的限制得到. 例如 $\mathcal{F}=C^{\infty }(\mathbb{R})$, $A={\mathbb{R}}_{+}$, 那么 $A$ 上的函数 $x\mapsto 1/x$ 属于 $\mathcal{F}{|}_A$, 而整体上不能由 $\mathcal{F}$ 中某个函数的限制得到.

很明显, $\mathcal{F}{|}_A$ 是一个 $\mathbb{R}$ 代数.

命题 0.8. 设 $\mathcal{F}=C^{\infty }(U)$, $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 为非空开集, 将 $U$ 等同于 $|\mathcal{F}|$. 那么对于开集 $V\subset U$, $\mathcal{F}{|}_V=C^{\infty }(V)$.