用户: Jin1/留数

经典的复分析教材对 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数的孤立奇点定义了留数.

若 $z_0\in \mathbb{C}$ 是 $f$ 的可去奇点 (即 ${\lim }_{z\to z_0}f(z)\in \mathbb{C}$ 有意义), 那么 $\mathrm{Res}(f,z_0)=0$. 所以人们会自然地认为, 当 $\infty$ 是可去奇点时, 留数 $\mathrm{Res}(f,\infty )=0$. 而这是错误的, 例如, 函数 $1/z$ 在 $z=\infty$ 处有留数 $-1$.

事实上, 留数应该对 Riemann 面上的亚纯 $1$-形式的极点定义. 设 $X$ 是 Riemann 面, $\omega$ 是 $X$ 上的亚纯 $1$-形式, $p$ 是 $\omega$ 的极点, 定义$$\mathrm{Res}(\omega ,p)={\int }_{\gamma }\omega ,$$其中 $\gamma$ 是一条环绕 $p$ 的简单闭曲线, 且内部不含其它的极点.

对于函数 $f$, 若给定了坐标 $z$, $f$ 在这个坐标下 $z=z_0$ 处的留数定义为 $fdz$ 在 $z=z_0$ 处的留数. 若没有给定坐标, 则谈论 Riemann 面上一个函数的留数没有意义.

考虑坐标 $w=1/z$, 那么 $dz/z=-dw/w$, 所以$$\mathrm{Res}(dz/z,z=\infty )=\mathrm{Res}(-dw/w,w=0)=-1.$$