用户: Kokic/用数学的语言看宇宙

「用数学的语言看宇宙」是加藤文元教授所写的科普书, 旨在向一般民众介绍 “神秘的” IUT 理论. 最近此书在国内有了译本并被人民邮电出版社出版. 故笔者决定在此记录书中的有趣部分.

以下是原书 (均指译本) 的内容提要:

$\text{“}$ 本书是解读望月新一 “跨视宇 Teichmiller 理论 (IUT 理论)” 的通俗读本. 作者将望月的论文及构想, 转化为一般读者也能读懂的语言, 创作了这本 “IUT 理论” 的解读手册. 书中侧重解读 “IUT 理论” 的思考脉络及其对现代数学体系的重大意义, 同时也展示了数学家的思考方法, 是一本兼具前沿数学理论知识与经典数学思维方法的科普佳作. 本书适合作为数学研究人员、数学爱好者了解 “IUT 理论” 的入门读本, 也适合作为学生了解数学思考方法的参考读物. $\text{"}$

笔者的注记未必按照句子在原文中的出现顺序, 但会在不同的小节标注原文页码.

1第三章

Faltings 的作业 $\text{pp. 79, 88}$

$\text{“}$ 前面我们已经说过, 望月教授在普林斯顿大学的博士论文指导老师是法尔廷斯. 1986 年, 法尔廷斯因为解决莫德尔猜想而获得了菲尔兹奖. 所以说, 他在刚刚获奖之后就成了望月教授的指导老师. 正因为这样, 法尔廷斯向他的学生望月教授建议的博士论文题目就是 “有效莫德尔猜想”.

即使我们知道了一条给定曲线的有理点只有有限个, 仍然难以作出清晰的估计, 比如有理点可能完全就没有, 也有可能虽然是有限的, 但个数多得不得了. 针对这种情况, 法尔廷斯提出了定量版的莫德尔猜想, 也就是所谓的 “有效莫德尔猜想” (effective Mordell conjecture) [1.1]. 这意味着只是泛泛地宣称曲线的有理点只有有限个是不够的, 我们还需要进一步考虑曲线的有理点大概有多少个.

注 1.1 (原文). 根据望月教授的说法, 法尔廷斯在 1991 年 1 月建议他去思考这样的问题. 但是, 法尔廷斯似乎不记得自己曾经提出过这样的 “建议”, 但对于望月教授来说, 这个建议却有着重大的影响, (某种意义上) 甚至是一件很有冲击性的事情, 所以当时的情景给他留下了非常深刻的印象.

这样我们就能大致了解到, 法尔廷斯向他的学生提出了一个多么有深度的问题. 就说莫德尔猜想本身吧, 那已经是非常困难的问题了, 要不然法尔廷斯也不会因为解决了它而获得了菲尔兹奖. 在这样的基础上, 还要证明有效莫德尔猜想, 这道作业题实在是很难完成的! 这个向题到底有多大的难度, 对此我们可能不太容易获得一个清晰的感觉. 不过, 这里可以提供一个大致的参照. 实际上, 有效莫德尔猜想和 ABC 猜想是等价的. 也就是说, 由前者可以证明后者, 由后者也可以证明前者. 从这个意义上来说, 这两件事的难度根本就是一样的!

我们不妨说, 望月教授花费了 20 多年的时间, 才完成了法尔廷斯给他布置的作业. 当然, 在过去的这 20 多年里, 他也并不是只盯着这一个问题进行思考. 但是, 如果从这个角度来重新审视一下望月教授过往的那些工作和思考的历程的话, 就会发现它们似乎都与 ABC 猜想有着某些深层的联系, 这一点倒是令人非常印象深刻. $\text{"}$

一莲托生 $\text{pp. 89, 91}$

$\text{“}$ 举例来说, 在复平面上, 我们通常把横轴称为实轴, 而把纵轴为虚轴, 它们在复数这个整体中各自起着确定的作用. 因此, 我们不能像普通的平面一样, 把纵和横作为独立的维度来处理. 同样, 在这样一种结构中, 长度和角度 ($r$ 和 $\theta$) 因为复结构的关系而处在一种紧密结合的状态下, 就像 “一莲托生” 这个词所描绘的那样 [1.2], 这种结合关系是不能轻易撼动的. 我们这里想要考察的结构就类似于这样的结构, 就像 “纵和横” 或者 “长度和角度” 那样, 虽然从图形上看是两个维度, 但它们是以一种难以分离的方式联系在一起的, 所以这两个维度不能各自独立地随意发生变化. 复结构当然可以算是这样一种结构, 但在数学其他许多领域中, 我们也可以制造出或者发现很多类似的例子.

注 1.2 (原文). “一莲托生” 是望月教授在说明这种状况时最喜欢使用的词语. 它的原意是 “死后在同一朵莲花上重生”, 大概就是命运与共之类的意思. 在这里使用这个词就是为了表达 “两个维度处于联动状态而无法彼此分离” 这样一层意思.

按照望月教授的用语, 我们这里就把这种 “两个维度像一莲托生那样相互结合在一起的状态” 称为 “全纯结构” (日文是 “正則構造” , 英文是 “holomorphic structure” ). 在那些具有全纯结构的图形中, 让一个维度保持不动, 而让另一个维度发生改变, 这是不允许的, 因为会破坏这个全纯结构. 以 “纵和横” 这个情况为例, 我们不能把长、宽相等的正方形变成长、宽不相等的矩形, 因为这样就会破坏正方形的状态 (也就是破坏了全纯结构).

Teichmüller 理论则是要通过一种特别选定的方式来 (巧妙地) 破坏全纯结构, 并积极地使图形发生形变的理论. 这样一来, 我们就可以将给定图形的各种形变全部写出来, 进而考察那个由所有这种形变构成的空间. 传统的 Teichmüller 理论会让图形进行适当的形变, 通过破坏复结构这种全纯结构而产生新的图形, 然后在形变后的图形上引入新的全纯结构, 由此就定义出一个与原来的图形比较近似的图形. 但是, 这个新的图形还是与原来的图形略有不同的, 而这种差异又可以通过全纯结构的不同而给出定量化的描述. 如果我们能对两个近似的图形之间的差异做出定量化的描述, 那就能够从数学的角度来定量地讨论它们之间到底有多近似或者有多不同. 比如说, 让一个长方形的垂直边保持不变, 而让该长方形的水平边进行伸缩, 就会得到纵横比例并不相同的一个新的长方形, 而这个比例值就是对这两个长方形的形状差异的一种定量化的描述.

这种 “破坏全纯结构的形变” 一般称为 “Teichmüller 形变” , 这种思考方法对于理解 IUT 理论中的某个基本思想来说有十分关键的作用, 后面我们就会看到. 传统的 Teichmüller 理论主要关注的是那种我们称为黎曼曲面的图形中的两个维度, 并在其上通过适当破坏复结构来产生各种形变, 而 $p$ 进 Teichmüller 理论则是要把复数换成 $p$ 进数域这样一种结构, 并在它上面考虑类似的问题. IUT 理论又与这些都不相同, 不过仍然是要把某两个像一莲托生那样 “缠绕” 在一起的维度作为一种全纯结构, 并在这种结构上考虑类似的问题. $\text{"}$

烤肉与电视剧 $\text{pp. 74, 79}$

$\text{“}$ 每次讨论班结束之后, 我们两个人就会一起去我们都比较喜欢的饭馆吃饭. 最终, 都是在今出川路上搜寻那些沿路的饭馆, 偶尔也会骑自行车去稍微远一点的地方, 最远的时候甚至到达了北山路一带. 一开始的时候, 我们去过很多不同类型的餐馆吃饭. 但是后来知道了望月老哥非常喜欢烤肉, 而我也恰好很喜欢, 所以接下来我们每次吃饭就都是烤肉了. 当时, 在百万遍十字路口附近有一家味道非常不错的烤肉店, 是我们最喜欢的一家, 所以每次都去那里吃. 不仅每次都去同一家烤肉店, 而且每次都点同样的菜. 我记得我们所点的菜有牛肋条肉、牛横膈膜、猪五花肉、柚子胡椒烤鸡、白葱. 其中, 只有白葱必须是双人份, 其他都是单人份. 然后, 我还会点生啤酒, 他一定会点米饭.

如果某段时间我去国外出差的话, 那么讨论班自然就会暂停. 但是, 望月老哥会特意在我们平时举行讨论班的那个时间, 一个人跑去那家烤肉店吃饭. 看来, 望月老哥真是非常喜欢那家店. 但是, 大概是往 2009 年中的某一天, 那家店突然关门不做了! 我们两个都感到非常震惊. 那天, 我们站在已经不存在的店门口, 沉吟了好一会儿.

在那之后的一段时间里, 我们去尝试了附近各种各样的烤肉店. 对每家烤肉店的考察都是望月老哥进行的. 最后, 我们终于在一家烤肉店固定下来, 但还是对往昔那家百万遍十字路口的店念念不忘, 吃饭的时候还常常叹息着说: “某某店真的很不错啊. ” $\text{"}$

$\text{“}$ 讨论班的地点就定在理学部 6 号馆 8 楼我的研究室, 我们一般是在授课等工作结束之后的傍晚进行讨论的. 在最初的一段时间里, 每次讨论班开始之前, 我们都会一起先去吃晚饭, 然后去我的研究室, 在那里开始讨论, 大概是这么个顺序. 但是, 后来改成了讨论班结束后再去吃晚饭, 之后就没有再变过. 下面就是我们讨论班每次讨论的大致过程.

一开始总要闲聊个 10 分钟左右. 给我留下深刻印象的是, 望月老哥竟然对时事问题非常了解, 他经常能就这方面的问题提出十分敏锐的见解. 而且, 一旦聊起和政治有关的话题, 望月老哥谈话的兴致也会渐渐高涨, 不知不觉就会多说几分钟. 另外, 当时还有一件事情也让我十分意外, 那就是望月老哥非常喜欢数码产品, 甚至对新产品有着盲目的追逐倾向, 他经常会去买一些刚刚问世的数码产品, 而且入手以后, 他还会向我展示一番, 脸上总是洋溢着满足的笑容. $\text{"}$