用户: Peach/线性代数群

1代数群的基本性质

假设 $K$ 是代数闭域.

定义 1.1. $K$ 上的代数群是一个三元组 $(G,\mu ,\iota )$, 其中 $G$ 是 $K$ 上代数簇, $\mu :G\times G\to G$, $\iota :G\to G$ 是代数簇间的映射, 且 $G$ 在这两个映射下构成群.

例 1.2. ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$: 考虑方程 $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(T_{ij})T=1$, 这是关于 $n^2+1$ 个变元的方程, 于是定义了 ${\mathbb{A}}^{n^2+1}$ 闭子代数簇. 用通常的矩阵乘法和取逆可以验证这是代数群, 记为 ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$.

定义 1.3. 代数群 $G$ 的子群 $H$ 称为代数子群如果 $H$ 是闭的.

定义 1.4 (代数群的作用). 代数群 $G$ 作用在代数簇 $X$ 上, 称 $X$ 为 $G$ 簇如果作用$$G\times X\to X$$是代数簇态射.

通常把 $(g,x)$ 记为 $g.x$.

定义 1.5 (代数群的表示). 当 $V$ 是 $K$ 上线性空间 (不一定有限维), $\rho :G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$ 是群同态, 若存在 $V$ 的有限维子空间 $V_1\subset V_2\subset \cdots$ 满足:
1. ${\bigcup }_i{V}_i=V$.
2. $V_i$ 在 $\rho (G)$ 作用下稳定, ${\rho }_{V_i}:G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V_i)$ 是代数群态射.
则 $(V,\rho )$ 称为 $G$ 的表示.

设 $X$ 是 $G$ 簇, 则 $G$ 能作用在 $K[X]$ 上: 取 $g\in G$, $f\in K[X]$, 令 $(g.f)(x)=f(g^{-1}.x)$.

命题 1.6. 假设 $G$ 是仿射代数群, $X$ 是仿射 $G$ 簇, 则 $G$ 在 $K[X]$ 的作用是表示.

证明. 设 $G$ 在 $X$ 上的作用通过 $\pi :G\times X\to X$ 实现, 那么有函数的拉回映射 ${\pi }^{\ast }:K[X]\to K[G\times X]$. 取 $f\in K[X]$, 则$${\pi }^{\ast }(f)\in K[G\times X]\cong K[G]{\otimes }_{K}K[X].$$设 ${\pi }^{\ast }(f)={\sum }_i{u}_i\otimes v_i$. 则$$(g.f)(x)=f(g^{-1}.x)={\pi }^{\ast }(f)(g^{-1},x)=\sum _i{u}_i(g^{-1})v_i(x).$$因此对任意 $g\in G$, $g.f$ 由 $v_i$ 张成且系数关于 $g$ 代数. 故 $K[X]$ 是表示.

$\square$

定理 1.7. 仿射代数群是某个 ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$ 的闭子群.

证明. 设 $G$ 是仿射代数群, 则 $G$ 左作用在自身上. 按照上面命题, $G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(K[G])$ 是表示, 令 $W^{\prime }$ 是 $K[G]$ 的生成元张成的子空间, $W$ 为包含 $W^{\prime }$ 的子空间且是 $G$ 的表示. 下证 $G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(W)$ 是单射. 取 $g\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\left\{G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(W)\right\}$, 则 $L_g:G\to G,h\mapsto gh$ 诱导的 $L_g^{\ast }:K[G]\to K[G]$ 是同构. 进而 $L_g$ 是同构, 所以 $g=e$. 由于这是仿射簇之间的单射, 因此像一定是闭的, 且与 $G$ 同构.

$\square$

基于上述定理, 仿射代数群又被称为线性代数群.

2Jordan 分解

我们前面证明了仿射代数群可以嵌入到 ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$, 于是由 $n$ 维空间上的 Jordan 分解. 自然要问两个问题: 分解之后的元素是否还在原来的闭子群中; 这个分解是否依赖嵌入的方式. 为解决这个问题, 我们定义一种不依赖嵌入的代数群的 Jordan 分解, 然后证明这两种 Jordan 分解等价, 这样就解决了这两个问题.

定义 2.1. $V$ 是有限维线性空间, $A\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(V)$ 称为半单如果 $A$ 可对角化, 称为幂零的如果存在 $n$ 是的 $A^n=0$, 称为幂幺的如果 $A-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_V$ 幂零.

这些概念可以推广到无穷维.

定义 2.2. $V$ 是线性空间, $A\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(V)$ 称为局部有限如果任意 $v\in V$, $A^n(v)$ 张成有限维子空间. $A$ 称为半单如果 $A$ 可对角. $A$ 称为幂零如果任意 $v\in V$, 存在依赖于 $v$ 的 $n$ 使得 $A^n(v)=0$. $A$ 称为幂幺如果 $A-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_V$ 幂零.

定理 2.3 (Jordan 分解). 设 $A\in \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$ 局部有限, 则存在唯一的半单 $A_s$ 和幂幺 $A_u$ 使得:

1. $A=A_s{A}_u$.

2. $A_s{A}_u=A_u{A}_s$.

定理 2.4. 设 $G$ 是线性代数群, $G$ 在自身的右作用记为$$\rho :g\mapsto {\rho }_g,$$则 ${\rho }_g$ 局部有限, 设其 Jordan 分解为 $({\rho }_g{)}_s({\rho }_g{)}_u$. 则存在唯一 $g_s,g_u\in G$ 满足$${\rho }_{g_s}=({\rho }_g{)}_s,{\rho }_{g_u}=({\rho }_g{)}_u,g=g_s{g}_u=g_u{g}_s.$$

例 2.5. $G={\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$ 的 Jordan 分解: 设 $g$ 在 n 维线性空间上的 Jordan 分解为 $g^s,g^u$, 我们证明这就是 $g$ 在代数群中的 Jordan 分解. 根据唯一性, 我们只需验证 $\rho (g^s),\rho (g^u)$ 分别半单和幂幺. $K[G]=K[T_{ij},T^{-1}]$, 其中 $T=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(T_{ij})$, 设 $g=(g_{ij})$, $h=(h_{ij})$, 则$$({\rho }_g{T}_{ij})(h)=T_{ij}(hg)=\sum _k{g}_{kj}{h}_{ik}.$$故推出$${\rho }_g{T}_{ij}=\sum _k{g}_{kj}{T}_{ik}.$$同理可验证$${\rho }_g{D}^{-1}=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(g)D^{-1}.$$若 $g$ 半单 ( 在 $n$ 维线性空间上), 不妨 $g_{ij}=0$, $i\ne j$. 则此时任意单项式 $T_{ij}^{a_{ij}}{D}^{-k}$ 均是 ${\rho }_g$ 的特征向量, 故 ${\rho }_g$ 半单.

若 $g$ 幂幺, 则 ${\rho }_g-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{K[G]}$ 在 $T_{ij}$ 上幂零, $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(g)=1$, 所以 ${\rho }_g-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{K[G]}$ 在 $D^{-1}$ 上也幂零. 故 ${\rho }_g$ 幂幺. 因此在 $n$ 维线性空间上的 Jordan 分解等价于在代数群上的 Jordan 分解.

命题 2.6 (). 假设 $\theta G\to H$ 是仿射代数群的嵌入, 那么$$\theta (g_s)=\theta (g{)}_s,\theta (g_u)=\theta (g{)}_u.$$

实际对任意仿射代数群的映射都对, 不过嵌入比较好证明. 结合上面的例子, 我们证明了嵌入的 Jordan 分解等价于代数群的 Jordan 分解.

命题 2.7. 线性代数群 $G$ 的幂幺元 $G_u$ 是闭的.

证明. 设 $G$ 是 ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$ 的闭子群, 由2.6, $$G_u=G\cap ({\mathrm{G}\mathrm{L}}_n{)}_u.$$而幂幺元由代数方程 $(A-I{)}^n=0$ 刻画, 故 $({\mathrm{G}\mathrm{L}}_n{)}_u$ 是闭的.

$\square$

3可解群

群 $G$ 的换位子群 $(G,G)$ 定义为形如 $gh{g}^{-1}{h}^{-1}$ 生成的子群.

引理 3.1. $G$ 是代数群, 则 $(G,G)$ 是闭子群.

我们把可解仿射代数群简称为可解群.

例 3.2. ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$ 的上三角子群的闭子群.

定理 3.3 (Lie-Kolchin 定理). 设 $G$ 是 $\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$ 的连通可解闭子群, 则存在 $V$ 的一组基使得 $G$ 包含在上三角子群中.

推论 3.4. 设 $G$ 是连通可解群, 则 $G_u$ 是连通幂幺子群.

证明. 由于上三角子群的幂幺部分由对角线为 $1$ 的矩阵构成, 记为 ${\mathrm{U}}_n$, 所以恰好是子群, 故 $G_u=G\cap {\mathrm{U}}_n$ 是群, 而闭已经证过.

$\square$

4根和幂幺根

引理 4.1. 线性代数群 $G$ 存在最大的连通正规可解闭子群 $R(G)$. 称为 $G$ 的根.

注意极大和最大的区别, 极大是指没有更大的, 最大是指任意满足条件的子群 $H$, 都有 $H\subset R(G)$.

例 4.2. $R({\mathrm{G}\mathrm{L}}_n)=Z({\mathrm{G}\mathrm{L}}_n)$. 我们证明 ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$ 的正规可解闭子群一定包含在中心里. 对 $n$ 做归纳假设, $n=1$ 时显然. 假设 $n=k-1$ 时成立, 设 $H$ 是 $G$ 的正规闭子群. 考虑 ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_k$ 的子群$$P(1,k)=\left\{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& g\end{array}\right)\mid g\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_{k-1}\right\}$$则 $H\cap P(1,k)$ 给出 $P(1,k)\cong {\mathrm{G}\mathrm{L}}_{k-1}$ 的正规可解闭子群. 这样由归纳假设可知 $H$ 中的元素形如: $$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c{I}_{k-1}\end{array}\right),a,c\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_1,b\in K^{k-1}.$$而在共轭下要保持这种形式, 故只能在 $Z({\mathrm{G}\mathrm{L}}_k)$ 中.

同理可知 $R({\mathrm{S}\mathrm{L}}_n)=\{e\}$.

定义 4.3. 设 $G$ 是线性代数群, 若 $R(G)=0$, 称 $G$ 为半单群, $R(G{)}_u=0$, 称 $G$ 为约化群.