用户: Tangss/Heisenberg 群

我们的目标是研究量子化问题, 建立经典观测量与量子观测量, 即 ${\mathbb{R}}^{2n}$ 上函数和 $L^2({\mathbb{R}}^n)$ 上自伴算子的对应 $f\mapsto A_f$.

我们取 ${\mathbb{R}}^{2n+1}$ 上的坐标$$(p_1,\cdots ,p_n,q_1,\cdots ,q_n,t)=(p,q,t),$$可以定义李代数结构$$[(p,q,t),(p^{\prime },q^{\prime },t)]=(0,0,[(p,q),(p^{\prime },q^{\prime })]),$$其中右侧的括号是 ${\mathbb{R}}^{2n}$ 上的辛形式. 这使 ${\mathbb{R}}^{2n+1}$ 成为李代数, 称作 Heisenberg 代数, 记作 ${\mathfrak{h}}_n$. 考虑 $P_1,\cdots ,P_n,Q_1,\cdots ,Q_n,T$ 是 ${\mathbb{R}}^{2n+1}$ 的标准基, 我们有对易关系$$[P_j,P_k]=[Q_j,Q_k]=[P_j,T]=[Q_j,T]=0,[P_j,Q_k]={\delta }_{jk}T.$$

下面寻找 ${\mathfrak{h}}_n$ 对应的李群. 对 $(p,q,t)\in {\mathbb{R}}^{2n+1}$, 我们定义矩阵$$m(p,q,t)=\left(\begin{array}{ccccc}0& p_1& \cdots & p_n& t\\ 0& 0& \cdots & 0& q_1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& q_n\\ 0& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right).$$令 $M(p,q,t)=I+m(p,q,t)$, 从而有$$\begin{array}{rl}m(p,q,t)m(p^{\prime },q^{\prime },t^{\prime })& =m(0,0,p{q}^{\prime }),\\ M(p,q,t)M(p^{\prime },q^{\prime },t^{\prime })& =M(p+p^{\prime },q+q^{\prime },t+t^{\prime }+p{q}^{\prime })。\end{array}$$因此有$$[m(p,q,t),m(p^{\prime },q^{\prime },t^{\prime })]=m(0,0,p{q}^{\prime }-q{p}^{\prime }),$$这告诉我们有李代数同态 ${\mathfrak{h}}_n\to \{m(X):X\in {\mathbb{R}}^{2n+1}\}$. 为了. 通过指数矩阵指数映射, 即可以构造对应李群. 注意到$$m(p,q,t{)}^2=m(0,0,pq),m(p,q,t{)}^k=0,\forall k\ge 3.$$则有$$e^{m(p,q,t)}=I+m(p,q,t)+\frac{1}{2}m(p,q,t{)}^2=M(p,q,t+\frac{1}{2}pq).$$我们注意到$$\begin{array}{rl}{e}^{m(p,q,t)}{e}^{m(p^{\prime },q^{\prime },t^{\prime })}& =M(p,q,t+\frac{1}{2}pq)M(p^{\prime },q^{\prime },t^{\prime }+\frac{1}{2}{p}^{\prime }{q}^{\prime })\\ & =M(p+p^{\prime },q+q^{\prime },t+t^{\prime }+\frac{1}{2}(pq+p^{\prime }{q}^{\prime })+p{q}^{\prime })\\ & =M(p+p^{\prime },q+q^{\prime },t+t^{\prime }+\frac{1}{2}(p{q}^{\prime }-q{p}^{\prime })+\frac{1}{2}(p+p^{\prime })(q+q^{\prime }))\\ & =e^{m(p+p^{\prime },q+q^{\prime },t+t^{\prime }+\frac{1}{2}(p{q}^{\prime }-q{p}^{\prime }))},\end{array}$$从而可以赋予 ${\mathbb{R}}^{2n+1}$ 群结构$$(p,q,t)\cdot (p^{\prime },q^{\prime },t^{\prime })=(p+p^{\prime },q+q^{\prime },t+t^{\prime }+\frac{1}{2}(p{q}^{\prime }-q{p}^{\prime })),$$称此群为 Heisenberg 群, 记作 ${\mathbb{H}}_n$.

1Schrödinger 表示

量子力学中有位置算符 $P_i=X_i$ (乘坐标 $x_i$), 以及动量算符 $Q_j=h{D}_j=\hslash {\partial }_j$. 从而有 ${\mathfrak{h}}_n$ 到 Schwartz 函数空间上反 Hermitian 算符的 Lie 代数同态,$$\mathrm{d}{\rho }_h(p,q,t)=2\pi i(hpD+qX+tI).$$我们希望可以通过指数映射得到 $H_n$ 在 $L^2({\mathbb{R}}^n)$ 上的酉表示. 方便起见, 取 $h=1$, 形式上对 $f\in L^2({\mathbb{R}}^n)$ 我们有$$g(x,t)=[e^{2\pi i(pD+qX)}f](x).$$将两边对 $t$ 做微分, 得到$$\frac{\partial g}{\partial t}=2\pi i(pD+qX)g.$$即 $g$ 是如下微分方程的解$$\frac{\partial g}{\partial t}-\sum _{j=1}^n{p}_j\frac{\partial g}{\partial x_j}=2\pi iqxg,g(x,0)=f(x).$$若我们令 $G(t)=g(x-tp,t)$, 则有 $G^{\prime }(t)=2\pi iq(x-tp)G(t)$, 满足 $G(0)=f(x)$. 从而有 $g(x-tp,t)=\exp (2\pi itqx-\pi i{t}^{2}pq)f(x)$. 令 $t=1$ 并做代换 $x\mapsto x+p$ 有$$e^{2\pi i(pD+qX)}f(x)=e^{2\pi iqx+\pi ipq}f(x+p).$$因此 ${\rho }_1$ 确实是 $L^2({\mathbb{R}}^n)$ 上的酉算子. 且满足如下关系$$e^{2\pi i(pD+qX)}{e}^{2\pi i(rD+sX)}=e^{\pi i(ps-qr)}{e}^{2\pi i[(p+r)D+(q+s)X]}.$$从而我们得到 $H_n$ 在 $L^2({\mathbb{R}}^n)$ 上的酉表示.

定义 1.1. 对任意 $h\in \mathbb{R}$, 定义 ${\rho }_h$ 为 $L^2({\mathbb{R}}^n)$ 上的表示$${\rho }_h(p,q,t)f(x)=e^{2\pi iht+2\pi iqx+\pi ihpq}f(x+hp).$$${\rho }_h$ 被称为 ${\mathbb{H}}_n$ 的 Schrödinger 表示.

命题 1.2. ${\rho }_h$ 是不可约酉表示.

证明. 使用下面将介绍的 F–W 变换的性质$$⟨V(f_1,g_1),V(f_2,g_2)⟩=⟨f_1,f_2⟩\overline{⟨g_1,g_2⟩}.$$

$\square$

Fourier–Wigner 变换

取 $h=1$, 记 $\rho (p,q)=\rho (p,q,0)$.

定义 1.3. 对 $f,g\in L^2({\mathbb{R}}^n)$, 我们如下定义 $V(f,g)\in L^2({\mathbb{R}}^{2n})$, $$V(f,g)(p,q)=⟨\rho (p,q)f,g⟩.$$$V(f,g)$ 称为 $f,g$ 的 Fourier–Wigner 变换.

命题 1.4. 对 $\varphi =2^{\frac{n}{4}}{e}^{-\pi x^2}$, 我们有 $\Phi =V(\varphi ,\varphi )=e^{-\frac{\pi }{2}(p^2+q^2)}$.

证明. 直接计算有$$\begin{array}{rl}V(\varphi ,\varphi )(p,q)& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{2}^{\frac{n}{2}}{e}^{-2\pi iqx-\pi ipq}{e}^{-\pi (x+p{)}^2}{e}^{-\pi x^2}\mathrm{d}x\\ & =2^{\frac{n}{2}}{e}^{-\pi ipq-\pi p^2}\prod _{i=1}^n{\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-2\pi x_i^2-2\pi x_i(p_i+i{q}_i)}\mathrm{d}{x}_i\\ & =2^{\frac{n}{2}}{e}^{-\pi pq-\pi p^2}\prod _{i=1}^n\sqrt{\frac{1}{2}}\exp (\frac{4{\pi }^2(p_i^2+2i{p}_i{q}_i-q_i^2)}{8\pi })\\ & =e^{\frac{-\pi }{2}(p^2+q^2)}.\end{array}$$

$\square$

2扭卷积

设 $\pi$ 是 ${\mathbb{H}}_n$ 的表示, 满足存在 $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ 使得 $\pi (0,0,t)=e^{2\pi iht}I$. 我们同样取 $h=1$, 令 $\pi (p,q)=\pi (p,q,0)$. 对 $F\in L^1({\mathbb{R}}^{2n})$, 定义$$\pi (F)=\int \int F(p,q)\pi (p,q)\mathrm{d}p\mathrm{d}q,$$这里是 Bochner 积分. 我们想研究对 $F,G\in L^1({\mathbb{R}}^{2}n)$, $\pi (F)\pi (G)$ 是什么. 定义扭卷积 (twisted convolution) 如下$$F♮G(p,q)=\int \int F(p-p^{\prime },q-q^{\prime })G(p^{\prime },q^{\prime })e^{\pi i(p{q}^{\prime }-q{p}^{\prime })}\mathrm{d}{p}^{\prime }\mathrm{d}{q}^{\prime }.$$

命题 2.1. 对任意 $F,G\in L^1({\mathbb{R}}^{2n})$, 我们有 $\pi (F)\pi (G)=\pi (F♮G)$.

证明. 直接计算有$$\pi (p,q)\pi (p^{\prime },q^{\prime })=\pi (p+p^{\prime },q+q^{\prime },\frac{1}{2}(p{q}^{\prime }-q{p}^{\prime }))=e^{\pi i(p{q}^{\prime }-q{p}^{\prime })}\pi (p+p^{\prime },q+q^{\prime }).$$从而$$\begin{array}{rl}\pi (F♮G)& =\int \int \left(\int \int F(p-p^{\prime },q-q^{\prime })G(p^{\prime },q^{\prime })e^{\pi i(p{q}^{\prime }-q{p}^{\prime })}\mathrm{d}{p}^{\prime }\mathrm{d}{q}^{\prime }\right)\pi (p,q)\mathrm{d}p\mathrm{d}q\\ & =\int \int G(p^{\prime },q^{\prime })\left(\int \int F(p-p^{\prime },q-q^{\prime })e^{\pi i(p{q}^{\prime }-q{p}^{\prime })}\pi (p,q)\mathrm{d}p\mathrm{d}q\right)\mathrm{d}{p}^{\prime }\mathrm{d}{q}^{\prime }\\ (\text{令}r=p-p^{\prime },s=q-q^{\prime })& =\int \int G(p^{\prime },q^{\prime })\left(\int \int F(r,s)e^{\pi i(r{q}^{\prime }-s{p}^{\prime })}\pi (p^{\prime }+r,q^{\prime }+s)\mathrm{d}r\mathrm{d}s\right)\mathrm{d}{p}^{\prime }\mathrm{d}{q}^{\prime }\\ & =\int \int G(p^{\prime },q^{\prime })\left(\int \int F(r,s)e^{\pi i(r{q}^{\prime }-s{p}^{\prime })}{e}^{-\pi i(r{q}^{\prime }-s{p}^{\prime })}\pi (r,s)\pi (p^{\prime }{q}^{\prime })\mathrm{d}r\mathrm{d}s\right)\mathrm{d}{p}^{\prime }\mathrm{d}{q}^{\prime }\\ & =\pi (F)\pi (G).\end{array}$$

$\square$

我们令 ${\Phi }^{\mathrm{ab}}(p,q)=e^{\pi i(aq-bp)}\Phi (p-a,q-b)$, 则有

命题 2.2. $\pi (a,b)\pi (\Phi )=\pi ({\Phi }^{\mathrm{ab}})$, 且 $\Phi ♮{\Phi }^{\mathrm{ab}}=e^{-\frac{\pi }{2}(a^2+b^2)}\Phi$.

证明. 按定义$$\begin{array}{rl}\pi (a,b)\pi (\Phi )& =\pi (a,b)\int \int F(p,q)\pi (p,q)\mathrm{d}p\mathrm{d}q\\ & =\int \int F(p,q)e^{\pi i(aq-pb)}\pi (p+a,q+b)\mathrm{d}p\mathrm{d}q\\ & =\int \int F(p,q)e^{\pi i(q-b)a-b(p-a)}\mathrm{d}p\mathrm{d}q\\ & =\pi ({\Phi }^{\mathrm{ab}}).\end{array}$$从而有$$\begin{array}{rl}\Phi ♮{\Phi }^{\mathrm{ab}}& =\int \int e^{-\frac{\pi }{2}[(p-p^{\prime }{)}^2+(q-q^{\prime }{)}^2]}{e}^{\pi i(a{q}^{\prime }-b{p}^{\prime })}{e}^{-\frac{\pi }{2}[(p^{\prime }-a{)}^2+(q^{\prime }-b{)}^2]}{e}^{i\pi (p{q}^{\prime }-q{p}^{\prime })}\mathrm{d}{p}^{\prime }\mathrm{d}{q}^{\prime }\\ & =\int \int e^{-\pi p^{\prime 2}+\pi (p+a-ib-iq)p^{\prime }-\frac{\pi }{2}(p^2+a^2)}{e}^{-\pi q^{\prime 2}+\pi (q+b+ia+ip)q^{\prime }-\frac{\pi }{2}(q^2+b^2)}\mathrm{d}{p}^{\prime }\mathrm{d}{q}^{\prime }\\ & =\exp (\frac{{\pi }^2[(p+a{)}^2-(b+q{)}^2-2i(a+p)(b+q)]}{4\pi }-\pi \frac{p^2+a^2}{2})\exp (\frac{{\pi }^2[(q+b{)}^2-(a+p{)}^2+2i(a+p)(b+q)]}{4\pi }-\pi \frac{q^2+b^2}{2})\\ & =e^{-\frac{\pi }{2}(p^2+a^2)}{e}^{-\frac{\pi }{2}(q^2+b^2)}\\ & =e^{-\frac{\pi }{2}(a^2+b^2)}\Phi .\end{array}$$

$\square$

3Stone–von Neumann 定理

定理 3.1. 设 $\pi$ 是 ${\mathbb{H}}_n$ 在 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的酉表示, 使得存在 $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ 满足 $\pi (0,0,t)=e^{2\pi iht}I$. 则有 $\pi$ 不变正交子空间分解 $\mathcal{H}=⨁{\mathcal{H}}_{\alpha }$, 使得对任意 $\alpha$ 有 $\pi |{\mathcal{H}}_{\alpha }$ 酉同构于 ${\rho }_h$.

证明. 我们讲分为如下几步证明: 令 $\varphi (x)=2^{\frac{n}{4}}{e}^{-\pi x^2}$ 为约化 Gauß 函数.

$\diamond$	$\mathbf{\pi }$ 作用在 ${\mathbf{L}}^1({\mathbb{R}}^{2\mathbf{n}})$ 上的忠实性. 若存在 $F\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ 使 $\pi (F)=0$. 则有$$\begin{array}{rl}0& =⟨\pi (a,b)\pi (F)\pi (-a,-b)u,v⟩\\ & =\int \int e^{2\pi i(bp-aq)}F(p,q)⟨\pi (p,q)u,v⟩\mathrm{d}p\mathrm{d}q,\end{array}$$作 Fourier 逆变换得 $F(p,q)⟨\pi (p,q)u,v⟩=0$ 对任意 $u,v$ 和几乎处处 $(p,q)$. 由 $\pi \curvearrowright \mathcal{H}$ 的忠实性取 $v=\pi (p,q)u$ 即知 $F(p,q)=0$ 几乎处处, 即 $\pi$ 在 $L^1({\mathbb{R}}^n)$ 上忠实.
$\diamond$	正交分解的构造. 由扭卷积性质知$$\pi (\Phi )\pi (a,b)\pi (\Phi )=\pi (\Phi ♮{\Phi }^{ab})=e^{-\frac{\pi }{2}(a^2+b^2)}\pi (\Phi ).$$取 $a=b=0$, 我们有 $\pi (\Phi {)}^2=\pi (\Phi )$. 利用 $\Phi$ 实值和 $\Phi (p,q)=\Phi (-p,-q)$, 可知 $\pi (\Phi )$ 自伴. 由 $\pi$ 的忠实性知 $\pi (\Phi )$ 是非零自伴投影. 令 $\mathcal{R}$ 是 $\pi (\Phi )$ 的值域, 对任意 $u,v\in \mathcal{R}$, 有 $u=\pi (\Phi )u$ 及 $v=\pi (\Phi )v$, 从而有$$\begin{array}{rl}⟨\pi (p,q)u,\pi (r,s)v⟩& =⟨\pi (-r,-s)\pi (p,q)\pi (\Phi )u,\pi (\Phi )v⟩\\ & =e^{\pi i(ps-qr)}⟨\pi (\Phi )\pi (p-r,q-s)\pi (\Phi )u,v⟩\\ & =e^{\pi i(ps-qr)}{e}^{-\frac{\pi }{2}[(p-r{)}^2+(q-s{)}^2]}⟨u,v⟩.\end{array}$$设 $\{v_{\alpha }\}$ 是 $\mathcal{R}$ 的标准正交基, 令$${\mathcal{H}}_{\alpha }=\overline{\mathrm{Span}\{\pi (p,q)v_{\alpha }:p,q\in {\mathbb{R}}^n\}}.$$由上式知对任意 $\alpha \ne \beta$, 有 ${\mathcal{H}}_{\alpha }\perp {\mathcal{H}}_{\beta }$, 且 ${\mathcal{H}}_{\alpha }$ 在 $\pi$ 作用下不变. 令 $\mathcal{N}=(⨁{\mathcal{H}}_{\alpha }{)}^{\perp }$, 这也是 $\pi$ 不变子空间. 对任意 $u\in \mathcal{N}$, 我们有$$⟨v_{\alpha },\pi (\Phi )u⟩=⟨\pi (\Phi )v_{\alpha },u⟩=0,$$对任意 $v_{\alpha }$ 成立, 从而 $\pi (\Phi )u\perp \mathcal{R}$, 推出 $\pi (\Phi )|\mathcal{N}=0$. 若 $\mathcal{N}\ne \{0\}$, 类似上面的操作, 考虑 $\pi |\mathcal{N}$ 和 $\pi (\Phi )|\mathcal{N}$ 知 $\pi (\Phi )|\mathcal{N}$ 理应是非零投影算子, 矛盾.
$\diamond$	与 Schrödinger 算子的同构性. 固定 $\alpha$ 令 $v^{pq}=\pi (p,q)v_{\alpha }$, 及 ${\varphi }^{pq}=\rho (p,q)\varphi$. 我们有$$⟨v^{pq},v^{rs}⟩=⟨{\varphi }^{pq},{\varphi }^{rs}⟩$$对任意 $p,q,r,s$ 成立. 因此若$$u=\sum a_{jk}{v}^{p_j{q}_k},f=\sum a_{jk}{\varphi }^{p_j{q}_k},$$则有 $\Vert u{\Vert }_{\mathcal{H}}=\Vert f{\Vert }_{L^2({\mathbb{R}}^n)}$. 从而映射 $v^{pq}\mapsto {\varphi }^{pq}$ 的连续线性延拓给出了 $\pi |{\mathcal{H}}_{\alpha }$ 和 $\rho$ 的酉同构.

$\square$

至此, 我们能够给出 ${\mathbb{H}}_n$ 上不可约酉表示的完整分类.

引理 3.2. (Schur 引理) 设 $\pi$ 是群 $G$ 在 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的酉表示. 则 $\pi$ 不可约当且仅当 $\mathrm{Com}(\pi (G))=\mathbb{C}I$.

特别地, ${\mathbb{H}}_n$ 的中心 $\mathcal{Z}$ 会被同态映入群 $\{cI:|c|=1\}$. 从而存在 $h$ 使得$$\pi (0,0,t)=e^{2\pi iht}I.$$

$\diamond$	当 $h\ne 0$ 时, 由上述定理我们有 $\pi \simeq {\rho }_h$;
$\diamond$	当 $h=0$ 时, 则 $\pi$ 会穿过群 $\mathcal{H}/\mathcal{Z}\simeq {\mathbb{R}}^{2n}$, 此上不可约表示均为 1 维, 从而形如 ${\sigma }_{ab}(p,q,t)=e^{2\pi i(ap+bq)}$.

4CCR 代数

参考文献

[vN31]

von Neumann, J. (1931). Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren. Mathematische Annalen.