用户: TravorLZH/广义 von Mangoldt 函数的一个数论性质

广义 von Mangoldt 函数 ${\Lambda }_k(n)$ 由下列 Dirichlet 卷积定义: $${\Lambda }_k(n)=\sum _{d|n}\mu (d){\log }^k\frac{n}{d},$$(1)其中 $k=1$ 时 ${\Lambda }_1(n)=\Lambda (n)$ 即为素数定理所涉及到的 von Mangoldt 函数. 我们知道当 $n$ 有超过一个不同的素因子时 $\Lambda (n)=0$. 下面我们就将这个性质推广到 ${\Lambda }_k(n)$ 中.

结合 Dirichlet 级数的性质, 可知: $$\sum _{n\ge 1}\frac{{\Lambda }_k(n)}{n^s}=(-1{)}^k\frac{{\zeta }^{(k)}(s)}{\zeta (s)},$$所以对两侧求导可知: $$-\sum _{n\ge 1}\frac{{\Lambda }_k(n)\log n}{n^s}=-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}(-1{)}^k\frac{{\zeta }^{(k)}(s)}{\zeta (s)}+(-1{)}^k\frac{{\zeta }^{(k+1)}(s)}{\zeta (s)}.$$这意味着: $${\Lambda }_{k+1}(n)=\sum _{d|n}\Lambda (d){\Lambda }_k\left(\frac{n}{d}\right)+{\Lambda }_k(n)\log n.$$(2)带入 $k=1$ 即得: $${\Lambda }_2(n)=\sum _{d|n}\Lambda (d)\Lambda \left(\frac{n}{d}\right)+\Lambda (n)\log n.$$我们发现当 $n$ 得素因子个数超过二时右侧必然为零. 接着再利用 (2), 便得以下结论:

定理 0.1. 当 $n$ 有超过 $k$ 个不同的素因子时, 总有 ${\Lambda }_k(n)=0$.