用户: TravorLZH/素数定理与素数间距

用 $p_n$ 表示第 $n$ 个素数, 本文旨在证明:

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log n}\le 1\le \underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log n}$$(1)

1一个分析学引理

引理 1.1. 对于正数列 $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$, 定义$$A(x)=\sum _{n\le x}{a}_n$$则当 $A(x)\sim x$ 时总有: $$\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{a}_n\le 1\le \underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{a}_n$$

证明. 若对于所有的 $n>N$ 总有 $a_n\ge \ell >0$, 则有: $$A(x)\ge \sum _{N<n\le x}\ell =\ell (\lfloor x\rfloor -N)\sim \ell x$$这意味着 $\ell \le 1$, 由此可知 ${\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }{a}_n\le 1$. 同理可证 ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }{a}_n\ge 1$.

$\square$

2结论的证明

为了方便起见, 设 $d_n=p_{n+1}-p_n$, 则根据素数定理 $p_n\sim n\log n$ 可知:

$$S(x)=\sum _{n\le x}{d}_n=p_{\lfloor x\rfloor +1}-p_1\sim x\log x$$

因此有:

$$\begin{array}{rl}A(x)& =\sum _{1<n\le x}\frac{d_n}{\log n}={\int }_1^x\frac{\mathrm{d}S(t)}{\log t}=\frac{S(x)}{\log x}+{\int }_1^x\frac{S(t)}{t{\log }^{2}t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{S(x)}{\log x}+O\left({\int }_2^x\frac{\mathrm{d}t}{\log t}\right)\sim x\end{array}$$

接下来对 $A(x)$ 套用引理 1.1 即得 (1).