用户: TravorLZH/若干倒数和的渐近公式

本文中我们将探讨若干种形如:

$$\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ (n,q)=1\end{array}}\frac{1}{f(n)}$$(1)

的倒数和的渐近公式, 并证明下面这个在哥德巴赫猜想研究中涉及的重要结论:

定理 0.1 (王元 [Wan05]). 对于所有的正整数 $q$, 当 $x\ge 1$ 时均有: $$\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ (n,q)=1\end{array}}\frac{{\mu }^2(n)}{\phi (n)}=\frac{\phi (q)}{q}\log x+O(\log \log 3q)$$(2)

1基本引理

在开始正式的推导之前我们先摆一些解析数论中的重要已知结论. 具体推导均可在 [Har46] 和 [Apo74] 中找到.

引理 1.1 (调和数的渐近展开). 对于 $x\ge 1$, 成立: $$\sum _{n\le x}\frac{1}{n}=\log x+\gamma +O\left(\frac{1}{x}\right)$$(3)其中 $\gamma$ 为欧拉常数.

引理 1.2 (莫比乌斯反演). 对于所有的正整数 $n,k$, 均有: $$\sum _{d^k|n}\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1& n无k次方因子\\ 0& n有k次方因子\end{array}$$(4)特别地, 当 $k=1$ 时: $$\sum _{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& n>1\end{array}$$(5)

引理 1.3 (Mertens 定理). 对于 $x\ge 1$, 成立以下渐近公式: $$\sum _{p\le x}\frac{\log p}{p}=\log x+O(1)$$(6)$$\sum _{p\le x}\frac{1}{p}=\log \log x+B_1+O\left(\frac{1}{\log x}\right)$$(7)其中 $B_1$ 为 Meissel-Mertens 常数.

2正整数的倒数和

利用前一节提到的引理 1.1 和引理 1.2, 我们可以直接得到:

$$\begin{array}{rl}\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ (n,q)=1\end{array}}\frac{1}{n}& =\sum _{n\le x}\frac{1}{n}\sum _{d|(n,q)}\mu (d)=\sum _{d|q}\mu (d)\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ d|n\end{array}}\frac{1}{n}\\ & =\sum _{d|q}\frac{\mu (d)}{d}\sum _{t\le x/d}\frac{1}{t}=\sum _{d|q}\frac{\mu (d)}{d}\left[\log \frac{x}{d}+O(1)\right]\\ & =\frac{\phi (q)}{q}\log x-\underset{M_1}{\underbrace{\sum _{d|q}\frac{\mu (d)\log d}{d}}}+\underset{M_2}{\underbrace{O\left(\sum _{d|q}\frac{{\mu }^2(d)}{d}\right)}}\end{array}$$

对于 $M_1$, 利用对数函数的性质可知:

$$\begin{array}{rl}{M}_1& =\sum _{d|q}\frac{\mu (d)}{d}\sum _{p|d}\log p=\sum _{p|d}\log p\stackrel{d=pt}{\overbrace{\sum _{\begin{array}{c}d\\ p|d|q\end{array}}\frac{\mu (d)}{d}}}\\ & =\sum _{p|d}\frac{\mu (p)\log p}{p}\sum _{\begin{array}{c}t|q\\ p\nmid t\end{array}}\frac{\mu (t)}{t}=-\frac{\phi (q)}{q}\underset{M_3}{\underbrace{\sum _{p|q}\frac{\log p}{p-1}}}\end{array}$$

为了估计 $M_3$ 的上界, 我们考虑引入待定参数 $u>1$, 则根据引理 1.3 可知:

$$\begin{array}{rl}{M}_3& \ll \sum _{p|q}\frac{\log p}{p}\le \sum _{p\le u}\frac{\log p}{p}+\sum _{p|q}\frac{\log p}{u}\\ & =\log u+O(1)+O\left(\frac{\log q}{u}\right)\end{array}$$

现在代入 $u=\log 3q$ 即得 $M_1\ll \log \log 3q$.

注 2.1. 这种技巧常常被称为 Rankin’s trick.

运用类似的方法, 我们也可以处理 $M_2$:

$$\begin{array}{rl}{M}_2& \ll \prod _{p|q}\left(1+\frac{1}{p}\right)\le \exp \left(\sum _{p|q}\frac{1}{p}\right)\\ & \le \exp \left(\sum _{p\le u}\frac{1}{p}+\sum _{\begin{array}{c}p|q\end{array}}\frac{1}{u}\right)\\ & \le \exp \left[\log \log u+O(1)+O\left(\frac{\log q}{u}\right)\right]\end{array}$$

现在代入 $u=\log 3q$ 便有 $M_2\ll \log \log 3q$. 把这些结论结合在一起, 就有:

定理 2.2. 对于所有的正整数 $q$, 当 $x\ge 1$ 时均有: $$\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ (n,q)=1\end{array}}\frac{1}{n}=\frac{\phi (q)}{q}\log x+O(\log \log 3q)$$(8)

3无平方因子数的倒数和

运用 $k=2$ 时的引理 1.2 以及刚刚得到的定理 2.2, 可知:

$$\begin{array}{rl}\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ (n,q)=1\\ n无平方因子\end{array}}\frac{1}{n}& =\sum _{\begin{array}{c}d\le \sqrt{x}\\ (d,q)=1\end{array}}\frac{\mu (d)}{d^2}\sum _{\begin{array}{c}t\le x/d^2\\ (t,q)=1\end{array}}\frac{1}{t}\\ & =\sum _{\begin{array}{c}d\le \sqrt{x}\\ (d,q)=1\end{array}}\frac{\mu (d)}{d^2}\left[\frac{\phi (q)}{q}\log \frac{x}{d^2}+O(\log \log 3q)\right]\\ & =\frac{\phi (q)}{q}\sum _{\begin{array}{c}d\le \sqrt{x}\\ (d,q)=1\end{array}}\frac{\mu (d)}{d^2}\log x+O(\log \log 3q)\end{array}$$

又因为:

$$\sum _{n>y}\frac{1}{n^2}\ll {\int }_y^{\infty }\frac{\mathrm{d}r}{r^2}\ll \frac{1}{y}$$(9)

所以我们可以结合欧拉乘积得到结论:

定理 3.1. 对于正整数 $q$, 当 $x\ge 1$ 时均有: $$\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ (n,q)=1\end{array}}\frac{{\mu }^2(n)}{n}=\frac{\phi (q)}{q}\prod _{p\nmid q}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)\log x+O(\log \log 3q)$$(10)

4结论的证明

利用 Dirichlet 乘积的性质, 我们知道:

$$\begin{array}{rl}\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ (n,q)=1\end{array}}\frac{{\mu }^2(n)}{\phi (n)}& =\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ (n,q)=1\end{array}}\frac{{\mu }^2(n)}{n}\prod _{p|n}\left(1+\frac{1}{p-1}\right)=\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ (n,q)=1\end{array}}\frac{{\mu }^2(n)}{n}\sum _{d|n}\frac{{\mu }^2(d)}{\phi (d)}\\ & =\sum _{\begin{array}{c}d\le x\\ (d,q)=1\end{array}}\frac{{\mu }^2(d)}{\phi (d)}\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ (n,q)=1\\ d|n\end{array}}\frac{{\mu }^2(n)}{n}=\sum _{\begin{array}{c}d\le x\\ (d,q)=1\end{array}}\frac{{\mu }^2(d)}{d\phi (d)}\sum _{\begin{array}{c}t\le x/d\\ (t,dq)=1\end{array}}\frac{{\mu }^2(t)}{t}\end{array}$$

现在对最右侧的求和套用定理 3.1, 便有:

$$\begin{array}{rl}\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ (n,q)=1\end{array}}\frac{{\mu }^2(n)}{\phi (n)}& =\frac{\phi (q)}{q}\sum _{\begin{array}{c}d\le x\\ (d,q)=1\end{array}}\frac{{\mu }^2(d)}{d^2}\prod _{p\nmid dq}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)\log x+O(\log \log 3q)\\ & =\frac{\phi (q)}{q}\prod _{p\nmid q}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)\sum _{\begin{array}{c}d\ge 1\\ (d,q)=1\end{array}}\frac{{\mu }^2(d)}{{\prod }_{p|d}(p^2-1)}\log x+O(\log \log 3q)\\ & =\frac{\phi (q)}{q}\prod _{p\nmid q}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)\left(1+\frac{1}{p^2-1}\right)\log x+O(\log \log 3q)\\ & =\frac{\phi (q)}{q}\log x+O(\log \log 3q)\end{array}$$

至此定理 0.1 的证明就完毕了.

参考文献

[Apo74]	Apostol, T. M. (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer New York.
[Har46]	Hardy, G. H., & Wright, E. M. (1946). An Introduction to the Theory of Numbers.
[Wan05]	Wang, Y. (2005). Selected papers of Wang Yuan. World Scientific.