用户: TravorLZH/Brun–Buchstab–Selberg 筛法 (废稿)

在本文中, 我们将通过整合 Brun [1]、Buchstab [2] 以及 Selberg [3] 的方法来得到适用于孪生素数和 Goldbach 问题的下界筛法. 1956 年王元首次将这三个人的方法整合, 得到了命题 3+4[4]. 这意味着在本章中都采用如下筛法参数:

$$\mathcal{A}=\{n(n-h):n\le x\},X=x,$$$$g(p)=\{\begin{array}{ll}1/p& p|h\\ 2/p& p\nmid h\end{array}$$(1)

这意味着 $\kappa =2$ 和 $|r(d)|\le 2^{\omega (d)}$. 另一方面, 为了更好地表示乘积 $V(z)$, 我们引入符号

$$c_h=4e^{-2\gamma }\prod _{\begin{array}{c}p|h\\ p>2\end{array}}\frac{p-1}{p-2}\prod _{p>2}\left(1-\frac{1}{(p-1{)}^2}\right),$$

使得当 $h\le x,\log z\asymp \log x$ 时总有:

$$V(z)=\frac{c_h}{{\log }^{2}z}\left\{1+O\left(\frac{1}{\log z}\right)\right\}.$$

1Buchstab 方法

类似于之前推导 9+9 的时候, 我们可以将 $\tau =0.4463$ 代入, 得到:

$${\eta }_1(\tau )<0.047,\frac{2}{e^{\tau /2}-1}<7.9998.$$

因此结合定理 ?? 和 (??), 便知当 $x$ 充分大时总有:

$$98\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}x}<S(\mathcal{A},\mathcal{P},x^{1/10})<104.7\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}x}.$$(2)

结合筛法的特性, 我们发现实际上只要 $\mathcal{A}$ 能够让密度函数满足 (1) 就可以得到一样的结果. 所以结合这一事实, 我们就可以构造一种更加灵活的筛函数来研究孪生素数与 Goldbach 问题:

定义 1.1 (Buchstab). $P_w(x,z)$ 表示满足: $$1\le n\le x,n\not\equiv a_p,b_p(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)(p<z)$$的整数 $n$ 之个数. 其中 $w$ 表示整数数列 $a_p,b_p$.

将这个定义与我们对 (2) 的分析结合, 便有:

定理 1.2 (Rademacher). 若整数 $h=h(w)$ 满足 $p|h⟺a_p\equiv b_p(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 则有: $$98\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}x}<P_w(x,x^{1/10})<104.7\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}x}.$$

上界系数与下界系数

很明显对于固定的 $w$ 和 $x$, $P_w(x,z)$ 关于 $z$ 单调递减, 所以我们就可以通过定理 1.2 得到下面的存在性定理:

定理 1.3 (Buchstab). 对于 $0<\alpha \le 10$, 存在两个单调不减函数 $\lambda ,\Lambda$ 使得: $$[\lambda (\alpha )+o(1)]\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}x}<P_w(x,x^{1/\alpha })<[\Lambda (\alpha )+o(1)]\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}x}.$$特别地 $\lambda (10)\ge 98,\Lambda (10)\le 104.7$.

有了上界系数后, 我们就可以利用 Buchstab 迭代式来计算 $\alpha <10$ 时适用于 $P_w(x,z)$ 的上下界系数了.

系数的迭代公式

根据 Buchstab 迭代公式, 我们知道当 $0<\alpha <\beta \le 10,a_p=0,b_p=h$ 时总有:

$$P_w(x,x^{1/\alpha })=P_w(x,x^{1/\beta })-\sum _{x^{1/\beta }\le p<x^{1/\beta }}S({\mathcal{A}}_p,\mathcal{P},p)$$(3)

对这个式子套用定理 1.3 就可以得到适用于上下界系数的迭代公式了, 但在此之前我们需要先将 $S({\mathcal{A}}_p,\mathcal{P},p)$ 用 Buchstab 筛函数来表示.

结合 $\mathcal{A}$ 的定义, 我们知道 $S({\mathcal{A}}_p,\mathcal{P},p)$ 实质上计算的就是满足下列条件的整数 $n$ 的个数:

$$1\le n\le x,n\not\equiv a_{p^{\prime }},b_{p^{\prime }}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^{\prime })(p^{\prime }<p),n\equiv a_p或b_p(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$(4)

若 $c$ 为 $a_p$ 和 $b_p$ 中的一者, 则当我们设置 $n=kp+c$, 并用 $a_{p^{\prime }}^{\ast },b_{p^{\prime }}^{\ast }$ 表示下列同余方程:

$$\{\begin{array}{l}k{a}_{p^{\prime }}^{\ast }+c\equiv a_{p^{\prime }}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^{\prime }),\\ k{b}_{p^{\prime }}^{\ast }+c\equiv b_{p^{\prime }}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^{\prime })\end{array}(p^{\prime }<p)$$

的解数, 则条件 (4) 等价于:

$$1\le k\le \frac{x-c}{p},k\not\equiv a_{p^{\prime }}^{\ast },b_{p^{\prime }}^{\ast }(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^{\prime }).(p^{\prime }<p)$$

因此当 $w_p^{\prime },w_p^{\prime \prime }$ 分别表示 $c=a_p,b_p$ 时对应的解系, 则当 $a_p\equiv b_p(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 时:

$$S({\mathcal{A}}_p,\mathcal{P},p)=P_{w_p^{\prime }}\left(\frac{x-a_p}{p},p\right)=P_{w_p^{\prime }}\left(\frac{x}{p},p\right)+O(1),$$

而当 $a_p\equiv b_p$ 时, 有:

$$S({\mathcal{A}}_p,\mathcal{P},p)=P_{w_p^{\prime }}\left(\frac{x}{p},p\right)+P_{w_p^{\prime \prime }}\left(\frac{x}{p},p\right)+O(1).$$

将这个结果回代至 (3) 中, 就有:

$$\begin{array}{rl}{P}_w(x,x^{1/\alpha })& =P_w(x,x^{1/\beta })-\sum _{x^{1/\beta }\le p<x^{1/\alpha }}{P}_{w_p^{\prime }}\left(\frac{x}{p},p\right)\\ & -\sum _{\begin{array}{c}{x}^{1/\beta }\le p<x^{1/\alpha }\\ p\nmid h\end{array}}{P}_{w_p^{\prime \prime }}\left(\frac{x}{p},p\right)+O(x^{1/\alpha }).\end{array}$$

结合 $P_w(x,z)$ 的定义, 我们知道对于任何的 $w$ 都有 $P_w(x,z)<x/p+O(1)$, 所以我们可以根据:

$$\begin{array}{rl}\sum _{\begin{array}{c}{x}^{1/\beta }\le p<x^{1/\alpha }\\ p|h\end{array}}{P}_{w_p^{\prime \prime }}\left(\frac{x}{p},p\right)& \ll \sum _{\begin{array}{c}p|h\\ p>x^{1/\beta }\end{array}}\frac{x}{p}+\sum _{p<x^{1/\alpha }}1\\ & =O(x^{1-1/\beta })+O(x^{1/\alpha }),\end{array}$$

发现当 $1<\alpha <\beta \le 10$ 时总有:

$$\begin{array}{rl}{P}_w(x,x^{1/\alpha })& =P_w(x,x^{1/\beta })-\sum _{x^{1/\beta }\le p<x^{1/\alpha }}\left\{P_{w_p^{\prime }}\left(\frac{x}{p},p\right)+P_{w_p^{\prime \prime }}\left(\frac{x}{p},p\right)\right\}\\ & +O(x^{1-1/\beta })+O(x^{1/\alpha })\end{array}$$(5)

因此对 (5) 中出现的筛函数套用定理 1.3, 就有:

$$P_w(x,x^{1/\beta })>[\lambda (\beta )+o(1)]\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}x}$$

以及 (易证 $h(w_p^{\prime })=h(w_p^{\prime \prime })=h(w)$) :

$$\begin{array}{rl}\sum _{x^{1/\beta }\le p<x^{1/\alpha }}& \left\{P_{w_p^{\prime }}\left(\frac{x}{p},p\right)+P_{w_p^{\prime \prime }}\left(\frac{x}{p},p\right)\right\}\\ & <[2+o(1)]\sum _{x^{1/\beta }\le p<x^{1/\alpha }}\Lambda \left(\frac{\log x/p}{\log p}\right)\frac{c_{h}x}{p{\log }^2(x/p)}\end{array}$$

再利用 “核武器” 引理, 这个关于素数的和式就可以化成积分了:

$$\begin{array}{rl}\sum _{x^{1/\beta }\le p<x^{1/\alpha }}\Lambda \left(\frac{\log x/p}{\log p}\right)& \frac{1}{p{\log }^2(x/p)}\\ & =[1+o(1)]{\int }_{x^{1/\beta }}^{x^{1/\alpha }}\Lambda \left(\frac{\log x}{\log t}-1\right)\frac{1}{(\log x-\log t{)}^2}\frac{\mathrm{d}t}{t\log t}\\ & =\frac{1+o(1)}{{\log }^{2}x}{\int }_{\alpha -1}^{\beta -1}\Lambda (u)\frac{u+1}{u^2}\mathrm{d}u\end{array}$$

将这些结果回代至 (5) 中, 便得:

$$P_w(x,x^{1/\alpha })>\left\{\lambda (\beta )-2{\int }_{\alpha -1}^{\beta -1}\Lambda (u)\frac{u+1}{u^2}\mathrm{d}u+o(1)\right\}\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}x}.$$

利用同样的方法, 我们也可以构造一个适用于上界系数的迭代公式, 所以:

定理 1.4 (Buchstab). 当 $1<\alpha <\beta \le 10$ 时总有: $$\lambda (\alpha )\ge \lambda (\beta )-2{\int }_{\alpha -1}^{\beta -1}\Lambda (u)\frac{u+1}{u^2}\mathrm{d}u,$$$$\Lambda (\alpha )\le \lambda (\beta )-2{\int }_{\alpha -1}^{\beta -1}\lambda (u)\frac{u+1}{u^2}\mathrm{d}u.$$

2Brun–Buchstab–Selberg 下界筛

在上一节中我们通过对筛函数 $P_w(x,z)$ 的上下界进行了定性分析, 从而将孪生素数和 Goldbach 问题变成了下界系数的放缩问题. 为了得到 $\lambda (\alpha )$ 的紧密下界, 我们需要用强劲的筛法来估计定理中 1.4 被积分的 $\Lambda (u)$.

结合第三章的推导, 我们知道 Selberg 筛法的误差项满足:

$$\sum _{\begin{array}{c}{d}_1,d_2|P(z)\\ d_1,d_2<z^c\end{array}}|r([d_1,d_2])|\le {\left(\sum _{d<z^c}{2}^{\omega (d)}\right)}^2.$$

用 $\tau (d)$ 表示 $d$ 的正因子个数, 则很明显 $2^{\omega (d)}\le \tau (d)$, 所以有:

$$\begin{array}{rl}\sum _{d<z^c}{2}^{\omega (d)}& \le \sum _{d<z^c}\tau (d)=\sum _{mn<z^c}1=\sum _{m<z^c}\sum _{n<z^c/m}1\\ & =\sum _{m<z^c}\frac{z^c}{m}+O(z^c)=O(z^c\log z)\end{array}$$

将这些结果与定理 ?? 结合就有:

$$P_w(x,z)<\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}z}\left\{\frac{1}{j_2(c)}+o(1)\right\}+O(z^{2c}{\log }^{2}z).$$

最后根据 $P_w(x,z)$ 的单调性, 便知 $2\le \alpha \le 10$ 时总有:

$$P_w(x,x^{1/\alpha })<P_w\left(x,\frac{x^{1/\alpha }}{{\log }^{4}x}\right)<\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}x}\left\{\frac{{\alpha }^2}{j_2(\alpha /2)}+o(1)\right\}.$$

将这个结果和定理 1.4 结合, 我们就得到了 Brun–Buchstab–Selberg 筛了:

定理 2.1 (Brun–Buchstab–Selberg). 当 $2\le \alpha <\beta \le 10$ 时, 总有: $$P_w(x,x^{1/\alpha })>\left\{\lambda (\beta )-2{\int }_{\alpha -1}^{\beta -1}\frac{u+1}{j_2(u/2)}\mathrm{d}u+o(1)\right\}\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}x}.$$

[1]	Brun, V. (1920). Le crible d’Eratosthene et le theoreme de Goldbach. Skr. Norske Vid. Akad, 3, 1–36.
[2]	Buchstab, A. (1938). Neue Verbesserungen in der Methode des Eratosthenischen Siebes. Mat. Sbornik, 46(2), 375–387.
[3]	Selberg, A. (1947). On an Elementary Method in the Theory of Primes. Norske Vid. Selsk. Forh. Trondhjem., 19, 64–67.
[4]	王元. (1956). 表大偶數為一個不超過三個素數的乘積及一個不超過四個素數的乘積之和. 数学学报, 6(3), 500–513.