用户: TravorLZH/Dirichlet L 函数的中值定理

约定. 在本文中,

• $s$ 指以 $\sigma$ 为横坐标、$t$ 为纵坐标的复数

在本文中, 我们将证明:

定理 0.1. 当 $\sigma =\frac{1}{2},q>1$ 时: $$\sum _{{\chi }_q\ne {\chi }_0}|L(s,\chi ){|}^2\ll \phi (q)|s|{\log }^2(q|s|)$$

1$L(s,\chi )$ 的区间拆分

由 $\chi$ 的性质可知 $L(s,\chi )$ 的级数展开在 $\sigma >0$ 时均收敛, 所以我们就可以进行拆解:

$$L(s,\chi )=\sum _{n\le H}\frac{\chi (n)}{n^s}+R,$$

其中:

$$\begin{array}{rl}R& =\sum _{n>H}\frac{\chi (n)}{n^s}=s{\int }_H^{\infty }{x}^{-s-1}\left\{\sum _{H<n\le x}\chi (n)\right\}\mathrm{d}x\\ & \ll |s|q^{1/2}\log q{\int }_H^{\infty }{x}^{-3/2}\mathrm{d}x\ll H^{-1/2}|s|q^{1/2}\log q.\end{array}$$

另一方面, 根据:

$$\sum _{n\le H}\frac{\chi (n)}{n^s}=s{\int }_1^H{x}^{-s-1}\left\{\sum _{n\le x}\chi (n)\right\}\mathrm{d}x\ll |s|q^{1/2}\log q,$$

所以有:

$$L^2(s,\chi )={\left\{\sum _{n\le H}\frac{\chi (n)}{n^s}\right\}}^2+O(H^{-1/2}|s|q^{1/2}\log q)+O(H^{-1}|s{|}^{2}q{\log }^{2}q).$$

2特征和的模长平方

为了继续我们的工作, 下面证明一个通用结论:

引理 2.1. 对于任何的复数列 $a_n$, 总有: $$S=\sum _{{\chi }_q}{\left|\sum _{M<n\le M+N}{a}_n\chi (n)\right|}^2<\phi (q)\left(1+\frac{N}{q}\right)\sum _{M<n\le M+N}|a_n{|}^2$$

证明. 利用共轭复数的性质, 易知 $N\le q$ 时: $$\begin{array}{rl}S& =\sum _{{\chi }_q}\sum _m\sum _n{a}_m\overline{a_n}\chi (m)\overline{\chi }(n)\\ & =\sum _m\sum _n{a}_m\overline{a_n}\sum _{{\chi }_q}\chi (m{n}^{-1})\\ & =\phi (q)\sum _{(n,q)=1}|a_n{|}^2\le \phi (q)\sum _{M<n\le M+N}|a_n{|}^2.\end{array}$$而当 $N>q$ 时, 将内部求和分解成长度为 $q$ 的子区间, 则根据 Cauchy–Schwarz 不等式有: $$\begin{array}{rl}S& =\sum _{{\chi }_q}{\left|\sum _{1\le j\le N/q}\sum _{M+(j-1)q<n\le M+jq}{a}_n\chi (n)+\sum _{M+q\lfloor N/q\rfloor <n\le M+N}{a}_n\chi (n)\right|}^2\\ & \le \sum _{1\le j\le N/q}\sum _{{\chi }_q}{\left|\sum _{M+(j-1)q<n\le M+jq}{a}_n\chi (n)\right|}^2+\sum _{{\chi }_q}{\left|\sum _{M+q\lfloor N/q\rfloor <n\le M+N}{a}_n\chi (n)\right|}^2\\ & \le \sum _{1\le j\le N/q}\phi (q)\sum _{M+(j-q)q<n\le M+jq}|a_n{|}^2+\phi (q)\sum _{M+N\lfloor N/q\rfloor <n\le M+N}|a_n{|}^2\\ & \le \phi (q)\left(1+\frac{N}{q}\right)\sum _{M<n\le M+N}|a_n{|}^2.\end{array}$$所以最后再结合特征和的特性便得结论.

$\square$

由此可知:

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{\phi (q)}\sum _{{\chi }_q\ne {\chi }_0}|L^2(s,\chi ){|}^2& \ll \left(1+\frac{H}{q}\right)\sum _{n\le H}\frac{1}{n}+H^{-1/2}|s|q^{1/2}\log q+H^{-1}|s{|}^{2}q{\log }^{2}q\\ & \ll \left(1+\frac{H}{q}\right)\log H+(q|s|H^{-1}{)}^{1/2}|s{|}^{1/2}\log q+(q|s|H^{-1})|s|{\log }^{2}q\end{array}$$

现在设 $H=q|s|$ 即得定理 0.1.