用户: TravorLZH/Glasser’s Master Theorem

约定. 在本文中,

• 积分符号均表示积分的 Cauchy 主值.

在本文中, 我们将探讨一类满足: $${\int }_a^{b}F(\varphi (x))\mathrm{d}x={\int }_a^{b}F(\varphi )\mathrm{d}\varphi$$(1)的函数 $\varphi (x)$, 并给出一些能使 (1) 成立的充分条件.

1$\varphi (x)$ 的连续单调区间

我们知道如果一个函数在某个区间内连续且单调那么其必然在此区间内可逆. 现在我们就不妨构造实数列 $a=c_0<c_1<c_2<\cdots <c_n=b$ 使得 $\varphi (x)$ 在 $(c_{i-1},c_i)$ 内均为连续增函数. 这意味着当我们将积分进行如下拆分时: $${\int }_a^{b}F(\varphi (x))\mathrm{d}x=\sum _{1\le i\le n}{\int }_{c_{i-1}^{+}}^{c_i^{-}}F(\varphi (x))\mathrm{d}x,$$(2)右侧的每个积分中的 $\varphi (x)$ 都有唯一的逆. 现在用 $x_{i-1}(\varphi )(1\le i\le n)$ 表示 $(c_{i-1},c_{i-1})$ 中 $\varphi (x)$ 对应的反函数, 则当 $x_i(\varphi )$ 连续可微时: $${\int }_{c_{i-1}^{+}}^{c_i^{-}}F(\varphi (x_i))\mathrm{d}{x}_i={\int }_{x_i(c_{i-1}^{+})}^{x_i(c_i^{-})}F(\varphi )x_i^{\prime }(\varphi )\mathrm{d}\varphi ,$$(3)为了便于我们将这些积分合并在一起, 我们还需要对 $x_{i-1}(\varphi )$ 在区间边缘的性质进行分析.

2$x_i(\varphi )$ 的条件

现在我们要求对 $x_i(\varphi )$ 满足$$\underset{\varphi \to c_{i-1}^{+}}{\lim }{x}_i(\varphi )=a,\underset{\varphi \to c_i^{-}}{\lim }{x}_i(\varphi )=b,$$(4)则结合 (2) 和 (3) 可知: $${\int }_a^{b}F(\varphi (x))\mathrm{d}x={\int }_a^{b}F(\varphi )(x_1+x_2+\cdots +x_n{)}^{\prime }(\varphi )\mathrm{d}\varphi ,$$所以在此基础上我们再要求:

$$(x_1+x_2+\cdots +x_n)(\varphi )=\varphi +常数,$$(5)

即得 (1). 接下来我们就来看看有哪些合适的函数能满足这些条件.

3满足条件的 $\varphi (x)$

定理 3.1 (Glasser[1]). 对于 $1\le i\le n$, 若 ${\alpha }_i$ 为正数、${\beta }_i$ 为实数则$$\varphi (x)=x-\sum _{1\le i\le n-1}\frac{a_i}{x-{\beta }_i}$$(6)能使 (1) 成立.

证明. 求导可知: $${\varphi }^{\prime }(x)=x+\sum _{1\le i\le n-1}\frac{a_i}{(x-{\beta }_i{)}^2}>1,$$所以当 $c_0=-\infty ,c_i={\beta }_i(1\le i\le n-1),c_n=+\infty$ 时易知 $\varphi (x)$ 在 $(c_{i-1},c_i)$ 单增且连续.

当: $$(x-{\beta }_1)(x-{\beta }_2)\cdots (x-{\beta }_{n-1})=x^{n-1}+p(x),$$时易知 $\mathrm{deg}[p(x)]\le n-2$, 所以 (6) 就可以化为下列多项式方程: $$x^n-\varphi x^{n-1}+q(x)=0,$$其中 $\mathrm{deg}q(x)\le n-2$. 结合 Vieta 定理便知 $\varphi (x)$ 也满足 (4) 和 (5), 故定理得证.

$\square$

推论 3.2 (Cauchy). $${\int }_{-\infty }^{\infty }F\left(x-\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{\infty }F(\varphi )\mathrm{d}\varphi$$

参考文献

[1]	Glasser, M. L. (1983). A remarkable property of definite integrals. Mathematics of Computation, 40(162), 561–563. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1983-0689471-1