用户: TravorLZH/Hadamard 三圆定理

设 $f(z)$ 在某个包含环 $r\le |z|\le R$ 的开集内解析, 并令 $m,M$ 分别为 $f(z)$ 在 $|z|=r,|z|=R$ 上的最大模. 然后我们希望通过这些性质来研究 $|f(z)|$ 在 $r<|z|<R$ 上的性质.

现在设 $k$ 为某个待定的实数并定义 $\varphi (z)=z^{k}f(z)$, 则根据最大模原理可知 $|z|=\rho ,r<\rho <R$ 时总有: $$|\varphi (z)|\le \min (r^{k}m,R^{k}M),$$而由于这个不等式对任意实数 $k$ 成立, 所以我们希望设置 $k$ 使得右侧两项恰好相等从而优化这个上界. 取对数可知这个要求相当于: $$k=-\frac{\log (M/m)}{\log (R/r)}.$$因此当 $K$ 表示 $f(z)$ 在 $|z|=\rho$ 上的最大模时总有: $${\rho }^{k}K\le (m/M{)}^{\log r/\log (R/r)}m.$$对两侧求 $\log (R/r)$ 次幂, 得: $$K^{\log R/r}\le M^{\log \rho /r}{m}^{\log R/\rho }.$$整理一下符号, 我们就得到了 Hadamard 三圆定理:

定理 0.1 (Hadamard). 若 $f(z)$ 在包含 $r_1\le |z|\le r_3$ 得开集中解析. 设 $r_1<r_2<r_3$ 并让 $M_k$ 为 $f(z)$ 在 $|z|=r_k,1\le k\le 3$ 上的最大模, 则有: $$M_2^{\log r_3/r_1}\le M_1^{\log r_3/r_2}{M}_3^{\log r_2/r_1}.$$