用户: TravorLZH/Ramanujan’s Master Theorem

约定. 在本文中,

• $s$ 指以 $\sigma$ 为横坐标、$t$ 为纵坐标的复数.

本文旨在证明 Ramanujan’s Master Theorem, 即:

$${\int }_0^{\infty }{x}^{s-1}F(x)\mathrm{d}x=\frac{\pi }{\sin (\pi s)}\varphi (-s),$$(1)

其中 $0<\sigma <1$、$F(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内满足:

$$F(x)=\varphi (0)-\varphi (1)x+\varphi (2)x^2-\varphi (3)x^3+\dots$$

1留数定理的应用

由正弦函数的性质可知, 当 $n$ 为整数时:

$$\sin (n\pi +\delta )\sim (-1{)}^n\delta ,\delta \to 0.$$

所以有:

$$F_N(x)=\varphi (0)-\varphi (1)x+\cdots +(-1{)}^N\varphi (N)x^N=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C_N}\frac{\pi }{\sin (\pi s)}\varphi (-s)x^{-s}\mathrm{d}s,$$

其中 $C_N$ 是一个只包含极点 $0,-1,-2,\dots ,-N$ 的逆时针环路.

2积分路径的变换

根据 Cauchy 定理可知当 $0<c<1$, ${\gamma }_{N,T}$ 表示以 $-N-\frac{1}{2}-iT,c-iT,c+iT,-N-\frac{1}{2}+iT$ 为顶点的逆时针长方形围道, 则有:

$$F_N(x)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{{\gamma }_{N,T}}\frac{\pi }{\sin (\pi s)}\varphi (-s)x^{-s}\mathrm{d}s$$

结合正弦函数的性质, 可知上述被积函数在 $s\in {\gamma }_{N,T}$ 时必然满足:

$$\frac{\pi }{\sin (\pi s)}\varphi (-s)x^{-s}=O(|\varphi (-s)|e^{-\pi |t|}{x}^{-\sigma })$$

现在我们假设存在非负增函数 ${\Phi }_1,{\Phi }_2$ 使得 $|\varphi (s)|\le {\Phi }_1(\sigma ){\Phi }_2(|t|)$, 则有:

$$I_1={\int }_{-N-\frac{1}{2}-iT}^{c-iT}+{\int }_{c+iT}^{-N-\frac{1}{2}-iT}=O\left\{{\Phi }_2(T)e^{-\pi T}{\int }_{-N-\frac{1}{2}}^c{\Phi }_2(\sigma )x^{-\sigma }\mathrm{d}\sigma \right\},$$$$I_2={\int }_{-N-\frac{1}{2}-iT}^{-N-\frac{1}{2}+iT}=O\left\{{\Phi }_1\left(-N-\frac{1}{2}\right)x^{N+\frac{1}{2}}{\int }_0^T{\Phi }_2(t)e^{-\pi t}\mathrm{d}t\right\}.$$

在此基础上我们假设存在 $A,\delta >0$ 使得 ${\Phi }_1(\sigma )\le e^{A\sigma }$ 和 ${\Phi }_2(|t|)\le e^{(\pi -\delta )|t|}$, 则当 $0<x<e^{-P}$ 时总有:

$$I_1=O(e^{-\delta T}),I_2=O(e^{(A-\log x)N}).$$

注 2.1. 本段中对 $\varphi (s)$ 追加的增长条件源于 [1] 的§11.4.

由此可知当 $T,N\to +\infty$ 时总有:

$$F(x)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-i\infty }^{c+i\infty }\frac{\pi }{\sin (\pi s)}\varphi (-s)x^{-s}\mathrm{d}x.$$(2)

但结合我们对 $\varphi (s)$ 追加的条件, 可以发现 (2) 将 $F(x)$ 的定义延拓到了 ${\mathbb{R}}_{>0}$.

3结论

对 (2) 的两侧同时做 Mellin 变换即得结论:

定理 3.1 (Hardy–Ramanujan). 若存在 $A,\delta >0$ 使整函数 $\varphi (s)$ 在 $s\in \mathbb{C}$ 时总为 $O(e^{A\sigma +(\pi -\delta )|t|})$, 则 (1) 成立.

参考文献

[1]	Hardy, G. H. (1940). Ramanujan: Twelve lectures on subjects suggested by his life and work. Cambridge University Press.