用户: TravorLZH/Selberg 筛法的主项估计问题

在本篇文章中, 我们将研究 Selberg 筛法中所涉及的和式:

$$J(D,z)=\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<\sqrt{D}\end{array}}h(d)$$

其中 $g(d)$ 为一积性函数, 满足:

$$\sum _{w\le p<z}g(p)\log p=\kappa \log \frac{z}{w}+O(L)$$

积性函数 $h(d)$ 满足:

$$h(p)=\frac{g(p)}{1-g(p)}=g(p)+O\{g^2(p)\}$$(1)

1附加条件

为了更好地用 $g(p)$ 来近似 $h(p)$, 我们亦要求:

$$\sum _p{g}^2(p)\log p<\infty$$

从而有:

$$\sum _{w\le p<z}h(p)\log p=\kappa \log \frac{z}{w}+O(L)$$$$\sum _{w\le p<z}h(p)=\log \frac{\log z}{\log w}+O\left(\frac{L}{\log z}\right)$$(2)

2准备工作

为了便于书写, 我们沿用 Halberstam & Richert 的符号:

$$G_q(x,z)=\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x\\ (d,q)=1\end{array}}h(d)$$$$G(x,z)=G_1(x,z)$$

则根据 (1) 可知, 当 $p$ 为素数时总有:

$$\begin{array}{rl}G(x,z)& =G_p(x,z)+\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x\\ p|d\end{array}}h(d)=G_p(x,z)+h(p)G_p\left(\frac{x}{p},z\right)\\ & =G_p(x,z)+\frac{g(p)}{1-g(p)}{G}_p\left(\frac{x}{p},z\right)\end{array}$$

于是乎:

$$\begin{array}{rl}(1-g(p))G(x,z)& =(1-g(p))G_p(x,z)+g(p)G_p\left(\frac{x}{p},z\right)\\ & =G_p(x,z)-g(p)\left[G_p(x,z)-G_p\left(\frac{x}{p},z\right)\right]\end{array}$$

再做换元, 即得:

$$h(p)G_p\left(\frac{x}{p},z\right)=g(p)\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x/p\end{array}}h(d)+g(p)h(p)\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ x/p^2\le d<x/p\\ (d,p)=1\end{array}}h(d)$$(3)

3带权和 $T(x,z)$

如同在研究素数定理的时候, 我们并不打算直接对 $G(x,z)$ 进行分析, 而选择构造这样一个带权和:

$$T(x,z)=\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x\end{array}}h(d)\log \frac{x}{d}={\int }_1^{x}G(t,z)\frac{\mathrm{d}t}{t}$$(4)

因此利用 $d$ 无平方因子的性质, 可知:

$$\begin{array}{rl}\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x\end{array}}h(d)\log d& =\sum _{p<z}h(p)\log p{G}_p\left(\frac{x}{p},z\right)\\ & =\sum _{p<z}g(p)\log p\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x/p\end{array}}h(d)\\ & +\sum _{p<z}g(p)h(p)\log p\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ x/p^2\le d<x/p\\ (d,p)=1\end{array}}h(d)\end{array}$$

对于第二个和式, $x/p^2\le d<x/p$ 意味着 $\sqrt{x/d}\le p<x/d$, 所以:

$$\begin{array}{rl}& \sum _{p<z}g(p)h(p)\log p\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ x/p^2\le d<x/p\\ (d,p)=1\end{array}}h(d)\\ & \ll \sum _{p<z}{g}^2(p)\log p\sum _{\sqrt{x/d}\le p<x/d}h(p)\\ & \ll \sum _p{g}^2(p)\log p=O(1)\end{array}$$

对于第一个式子, 交换求和次序可得:

$$\sum _{p<z}g(p)\log p\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x/p\end{array}}h(d)=\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x\end{array}}h(d)\sum _{p<\min (z,x/d)}g(p)\log p$$

$z<x/d$ 当且仅当 $d<x/z$, 所以:

$$\begin{array}{rl}\sum _{d<x}& =\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x/z\end{array}}h(d)\sum _{p<z}g(p)\log p+\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ x/z\le d<x\end{array}}h(d)\sum _{p<x/d}g(p)\log p\\ & =\kappa \sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x/z\end{array}}h(d)\log z+\kappa \sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ x/z\le d<x\end{array}}h(d)\log \frac{x}{d}+O\{LG(x,z)\}\\ & =\kappa \sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x/z\end{array}}h(d)\log \frac{d}{x/z}+\kappa \sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x\end{array}}h(d)\log \frac{x}{d}+O\{LG(x,z)\}\end{array}$$

再结合 (4) 即得:

$$\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x\end{array}}h(d)\log d=\kappa T(x,z)-\kappa T\left(\frac{x}{z},z\right)+O\{LG(x,z)\}$$

于是乎:

$$G(x,z)\log x=(\kappa +1)T(x,z)-\kappa T\left(\frac{x}{z},z\right)+O\{LG(x,z)\}$$(5)

为了方便我们研究 $G(x,z)$, 我们先选择研究 $x\le z$ 的情形:

$$G(x)=\sum _{d<x}{\mu }^2(d)h(d)$$(6)$$T(x)={\int }_1^{x}G(t)\frac{\mathrm{d}t}{t}$$

4$G(x)$ 的渐近公式

将 $z=x$ 代入到 (5) 中, 可知:

$$G(x)\log x=(\kappa +1)T(x)+O\{LG(x)\}$$

移项得:

$$\frac{(\kappa +1)T(x)}{\log x}=G(x)\left\{1+O\left(\frac{L}{\log x}\right)\right\}$$(7)

对 $T(x)$, 取对数导可知:

$$\frac{T^{\prime }}{T}(x)=\frac{G(x)}{xT(x)}=\frac{\kappa +1}{x\log x}\left\{1+O\left(\frac{L}{\log x}\right)\right\}$$

这意味着存在 $C>0$ 使得:

$$\begin{array}{rl}\log T(x)& =(\kappa +1)\log \log x+\log C+O\left(L{\int }_x^{\infty }\frac{\mathrm{d}y}{y{\log }^{2}y}\right)\\ & =(\kappa +1)\log \log x+\log C+O\left(\frac{L}{\log x}\right)\end{array}$$

对两侧求指数并代入 (7), 就有:

$$G(x)=C{\log }^{\kappa }x\left\{1+O\left(\frac{L}{\log x}\right)\right\}$$(8)

至此我们已经得到 $G(x)$ 的渐近性质了, 接下来我们就只需要确定常数 $C$ 了.

$C$ 的计算

根据 (6) 可知 $u>0$ 时:

$$\sum _{d\ge 1}{\mu }^2(d)h(d)d^{-u}=\prod _p\left(1+\frac{h(p)}{p^u}\right)=u{\int }_1^{\infty }\frac{G(t)}{t^{u+1}}\mathrm{d}t$$

现在代入 (8), 就有:

$$u{\int }_1^{\infty }\frac{G(t)}{t^{u+1}}\mathrm{d}t=Cu{\int }_1^{\infty }\frac{{\log }^{\kappa }t}{t^{u+1}}\mathrm{d}t+O\left(u{\int }_1^{\infty }\frac{{\log }^{\kappa -1}t}{t^{u+1}}\mathrm{d}t\right)$$

利用 Laplace 变换的性质, 可知:

$${\int }_1^{\infty }\frac{{\log }^{\kappa }t}{t^{u+1}}\mathrm{d}t={\int }_0^{\infty }{y}^{\kappa }{e}^{-uy}\mathrm{d}y=\frac{\Gamma (\kappa +1)}{u^{\kappa +1}}$$

所以 $u\to 0$ 时:

$$\sum _{d\ge 1}{\mu }^2(d)h(d)d^{-u}\sim u^{-\kappa }\Gamma (\kappa +1)C$$

又因为 $u\to 0$ 时:

$$\frac{1}{u}\sim \zeta (u+1)=\prod _p{\left(1-\frac{1}{p^{u+1}}\right)}^{-1}$$

所以:

$$C=\frac{1}{\Gamma (\kappa +1)}\prod _p(1-g(p){)}^{-1}{\left(1-\frac{1}{p}\right)}^{\kappa }$$

将此结论与 (8) 相结合, 便有:

$$\frac{1}{G(x)}=\prod _p(1-g(p)){\left(1-\frac{1}{p}\right)}^{\kappa }\frac{\Gamma (\kappa +1)}{{\log }^{\kappa }x}\left\{1+O\left(\frac{L}{\log x}\right)\right\}$$

将这个结论代入到 Selberg 筛法中, 即得:

引理 4.1. 当 $2\le \xi \le z$ 时总有$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)\le X\frac{\Gamma (\kappa +1)}{{\log }^{\kappa }\xi }\prod _p(1-g(p)){\left(1-\frac{1}{p}\right)}^{-\kappa }\left\{1+O\left(\frac{L}{\log z}\right)\right\}+\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<{\xi }^2\end{array}}{3}^{\omega (d)}|r(d)|$$

5展开式的组合化与 ${\sigma }_{\kappa }(s)$

在研究组合筛法的时候我们常常希望筛函数能被化成:

$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)\asymp XV(z)$$

而根据:

$$V(z)=\frac{e^{-\kappa \gamma }}{{\log }^{\kappa }z}\prod _p(1-g(p)){\left(1-\frac{1}{p}\right)}^{-\kappa }\left\{1+O\left(\frac{L}{\log z}\right)\right\}$$

我们可以发现 $x\le z$ 时总有:

$$\begin{array}{rl}G(x,z)& =\frac{e^{-\gamma \kappa }}{\Gamma (\kappa +1)}\frac{1}{V(x)}\left\{1+O\left(\frac{L}{\log x}\right)\right\}\\ & =\frac{e^{-\gamma \kappa }}{\Gamma (\kappa +1)}{\left(\frac{\log x}{\log z}\right)}^{\kappa }\frac{1}{V(z)}\left\{1+O\left(\frac{L}{\log x}\right)\right\}\end{array}$$

因此结合 $J(D,z)$ 的定义可知:

$$J(D,z)=\frac{2^{-\kappa }{e}^{-\gamma \kappa }}{\Gamma (\kappa +1)}{\left(\frac{\log D}{\log z}\right)}^{\kappa }\frac{1}{V(z)}\left\{1+O\left(\frac{L}{\log D}\right)\right\}$$

由此我们就可以猜测 $J(D,z)$ 或许满足以下关系:

$$J(D,z)=\sigma \left(\frac{\log D}{\log z}\right)\frac{1}{V(z)}\left\{1+O\left(\frac{L}{\log D}\right)\right\}$$(9)

很明显 $0\le s\le 2$ 时 ${\sigma }_{\kappa }(s)$ 的表达式是已知的, 所以接下来我们将通过迭代方法计算 $s>2$ 时 ${\sigma }_{\kappa }(s)$ 的表达式.

6$J(D,z)$ 的迭代与 ${\sigma }_{\kappa }(s)$ 的差分方程

很明显当 $p<p^{\prime }$ 为 $\mathcal{P}$ 中的两个相邻素数时总有:

$$J(D,p^{\prime })-J(D,p)=\sum _{\begin{array}{c}d|P(p^{\prime })\\ p|d\\ d<\sqrt{D}\end{array}}h(d)=h(p)\sum _{\begin{array}{c}t|P(p)\\ t<\sqrt{D}/p\end{array}}=h(p)J\left(\frac{D}{p^2},p\right)$$

因此对于所有固定的 $\alpha <\beta$ 总有:

$$J(D,D^{1/\alpha })=J(D,D^{1/\beta })+\sum _{D^{1/\beta }\le p<D^{1/\alpha }}h(p)J\left(\frac{D}{p^2},p\right)$$(10)

根据 (9) 可知:

$$J(D,D^{1/\beta })\sim \frac{\sigma (\beta )}{V(D^{1/\beta })}\sim \frac{(\alpha /\beta {)}^{\kappa }\sigma (\beta )}{V(D^{1/\alpha })}$$

对于右侧的和式, 利用 (2) 可得:

$$\begin{array}{rl}\sum _{D^{1/\beta }\le p<D^{1/\alpha }}& \sim \sum _{D^{1/\beta }\le p<D^{1/\alpha }}h(p){\sigma }_{\kappa }\left(\frac{\log D}{\log p}-2\right)\frac{1}{V(p)}\\ & \sim \frac{{\alpha }^{\kappa }}{V(D^{1/\alpha })}\sum _{D^{1/\beta }\le p<D^{1/\alpha }}h(p){\sigma }_{\kappa }\left(\frac{\log D}{\log p}-2\right){\left(\frac{\log p}{\log D}\right)}^{\kappa }\\ & \sim \frac{\kappa {\alpha }^{\kappa }}{V(D^{1/\alpha })}\underset{u=\log D/\log t}{\underbrace{{\int }_{D^{1/\beta }}^{D^{1/\alpha }}{\sigma }_{\kappa }\left(\frac{\log D}{\log t}-2\right){\left(\frac{\log t}{\log D}\right)}^{\kappa }\frac{\mathrm{d}t}{t\log t}}}\\ & =\frac{\kappa {\alpha }^{\kappa }}{V(D^{1/\alpha })}{\int }_{\alpha }^{\beta }{u}^{-\kappa -1}{\sigma }_{\kappa }(u-2)\mathrm{d}u\end{array}$$

将这些结论代入回 (10) 中, 便得:

$${\alpha }^{-\kappa }{\sigma }_{\kappa }(\alpha )={\beta }^{-\kappa }{\sigma }_{\kappa }(\beta )+{\int }_{\alpha }^{\beta }\kappa u^{-\kappa -1}{\sigma }_{\kappa }(u-2)\mathrm{d}u$$

通过求导, 我们就得到了刻画 ${\sigma }_{\kappa }(s)$ 的初值问题:

$${\sigma }_{\kappa }(s)=\frac{2^{-\kappa }{e}^{-\gamma \kappa }}{\Gamma (\kappa +1)}{s}^{\kappa }(0\le s\le 2)$$(11)$$[s^{-\kappa }{\sigma }_{\kappa }(s){]}^{\prime }=-\kappa s^{-\kappa -1}{\sigma }_{\kappa }(s-2)(s>2)$$(12)

7结论

将这些推导整合, 便有:

引理 7.1. 对于固定的 $0<\alpha <\beta$, 当 $\alpha \le s\le \beta ,z=D^{1/s}$ 时, 总有: $$J(D,z)=\frac{{\sigma }_{\kappa }(s)}{V(z)}\left\{1+O\left(\frac{L}{\log z}\right)\right\}$$(13)其中隐含常数与 $\kappa ,\alpha ,\beta$ 有关, 函数 ${\sigma }_{\kappa }(s)$ 由 (11) 和 (12) 定义.

定理 7.2. 对于固定的 $0<\alpha <\beta$, 当 $\alpha \le s\le \beta ,z=D^{1/s}$ 时, 总有: $$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)<XV(z)\left\{\frac{1}{{\sigma }_{\kappa }(s)}+O\left(\frac{L}{\log z}\right)\right\}+\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<D\end{array}}{3}^{\omega (d)}|r(d)|$$