用户: TravorLZH/V(z)的迭代式

在本文中, 我们将探讨筛法主项 $V(z)$ 的一个组合性质, 并证明:

定理 0.1. $$V(z)=V(w)-\sum _{w\le p<z}g(p)V(p)$$特别地$$V(z)=1-\sum _{p<z}g(p)V(p)$$

证明. 设 $p<p^{\prime }$ 为 $\mathcal{P}$ 中的两个相邻素数, 则有:

$$V(p^{\prime })-V(p)=\sum _{\begin{array}{c}d|P(p^{\prime })\\ p|d\end{array}}\mu (d)g(d)=-g(p)V(p)$$

迭代即得结论.

$\square$