用户: Yao/微分流形习题
36. | 沿 的水平的大圆 (作为一条给定方向的闭路径) 取标架场 , 使得 是该路径的切向量, 竖直向上, 那么粘合对径点后, 在同一点两个 方向相反而两个 方向相同, 也就是说沿该路径传播得到了相反的定向, 由本章推论 6.2, 是不可定向的. |
37. | 参看 5 例 2 的图, 沿右图中的路径取标架场 , 使得 是该路径的切向量, 对应到左下图中是竖直向上的, 即从 指向 , 从 指向 , 那么粘合成 Klein 瓶后, 在 点 翻转了方向而 的方向良定, 沿该路径传播得到了相反的定向, 由本章推论 6.2, Klein 瓶是不可定向的. 注: 一个更简单的方法是, 假设 或 Klein 瓶可定向, 对用于粘合 的圆盘剪两刀, 或剪开 Klein 瓶, 就得到了 Möbius 带以及限制于其上的定向, 但本章例 1 已证明 Möbius 带不可定向, 矛盾. |
38. | 只需验证全纯函数作为复变量的实部与虚部的函数的 Jacobi 行列式 . |
39. | (1) 对于使 的 , 由 的连续性得存在 的邻域 使得 , 即 ; (2) 由本章推论 5.5 得到 是 维无边流形; |
40. | (1) 设 是 的一个定向, 是 的一个定向, 那么 (包含于的定向相符的极大容许坐标卡集) 就是 的一个定向, 这是因为当 时(2) 即证明若 是可定向的, 则 都是可定向的. (3) 设 是带边流形 的微分结构, 是流形 的微分结构, 那么 是带边流形 的微分结构, 这是因为 是 到 的开子集的同胚 (这里 , ) , 且 当且仅当存在坐标卡使 , 当且仅当 , 当且仅当 , 所以 . |
41. | 这是单位分解定理 (本章定理 2.7) 的一个推论. |