一、设 {Xk}k=1n∼i.i.d.B(1,p), 其中 p∈(0,1); Sn:=X1+⋯+Xn. 请计算 E[1+Sn1].
解答. Sn∼B(n,p),
E[1+Sn1]=k=0∑n(kn)1+kpkqn−k=n+11k=0∑n(k+1n+1)pkqn−k=n+11k=1∑n+1(kn+1)pk−1qn+1−k=p(n+1)1−(1−p)n+1. 二、设 {Xk}k=12∼i.i.d.U(0,1), X3:=X1+X2(mod1). 求证: {Xk}k=13 两两独立、同分布.
证明. P(X3≤x)=P(X1+X2≤x)+P(1<X1+X2≤1+x)=2x2+21−(1−x)2=x=P(X1≤x).P(X1≤x,X3≤y)=P(X1≤x,X2≤y−x∨1−x<X2≤1+y−x)=P(X1≤x)P(X2≤y−x∨1−x<X2≤1+y−x)=P(X1≤x)(min(0,y−x)+max(1+y−x,1)−(1−x))=P(X1≤x)y=P(X1≤x)P(X3≤y).X2 同理.
三、考虑反复投掷一枚均匀硬币, 如果获得正面则记录 “H”, 获得反面则记录 “T”. 请问为了获得记录 “HTH” 平均所需的最少投掷硬币次数?
解答. 记 E 为所求的平均次数, E[∣−] 为前几次扔出了记录 − 后平均还需要的次数. 显然E=E[∣T]=E[∣HTT], E[∣H]=E[∣HH], E[∣HTH]=0.由下图有⎩⎨⎧EE[∣H]E[∣HT]=1+(E[∣H]+E)/2=1+(E[∣H]+E[HT])/2=1+E/2⇒⎩⎨⎧E=10E[H]=8E[∣HT]=6.□
四、设随机变量 X 的分布函数 F 满足: 存在常数 a>0, 使得对任意 x∈R, F(x+a)−F(x)∈{0,1}.试论证: X 是退化的随机变量, 即存在 b∈R 使得 P(X=b)=1. 反过来结论也成立.
证明. 首先, 不能对所有的 x 都 P(x−a,x]=0, 即存在 xˉ 使 P(xˉ−a,xˉ]=1.
令 b=inf{x∣P(x−a,x]=1}≤b0, 则 ∀b−<b,P(b−−a,b−]=0, 不然 P(b−−a,b−]=1, 与 b 的最小性矛盾;
且 ∀b+>b,P(b+,∞)=0, 不然对任何 b′∈[b,b+),P(b′−a,b′]<1 故 =0, 同样与 b 的定义矛盾.
于是 P(X=b)=P(xˉ−a,xˉ]−P(xˉ−a,b)−P(b,xˉ]=1.
反过来,
F(x+a)−F(x)=0 对
x∈/[b−a,b),
F(x+a)−F(x)=1 对
x∈[b−a,b).
五、设某游戏中杀死某怪物具有固定的 “爆率” 出现装备 1,2. 假定杀死该怪物后, 以 0.2 的概率爆出装备 1, 以 0.1 的概率爆出装备 2, 以 0.7 的概率不爆出任何装备. 记 τ 是为了集齐装备 1,2 所需的最小杀怪次数, 求 τ 的期望和方差.
解答. 记 τ1,τ2 是得到装备 1,2 所需的次数, τ=max(τ1,τ2), 则P(τ>n)=P(τ1>n)+P(τ2>n)−P(τ1>n,τ2>n)=0.8n+0.9n−0.7n.故E[τ]=n=0∑∞P(τ>n)=n=0∑∞0.8n+0.9n−0.7n=5+10−310=335,E[τ2]=n=0∑∞(2n+1)P(τ>n)=n=0∑∞(2n+1)(0.8n+0.9n−0.7n)=50−5+200−10−9200+310=216+91,Var(τ)=216+91−9352=80.这里用到了E[τ2]=m=1∑∞m2P(τ=m)=m=1∑∞n=0∑m−1(2n+1)(P(τ>m−1)−P(τ>m))=n=0∑∞(2n+1)m=n+1∑∞(P(τ>m−1)−P(τ>m))=n=0∑∞(2n+1)P(τ>n),n=0∑∞(2n+1)pn=2n=0∑∞(xn+1)′∣x=p−n=0∑∞pn=(1−p)22−1−p1.□
六、设 {Xn}n=1∞ 独立同分布, 它们与非负整数值随机变量 τ 相互独立, 其中 E[∣X1∣]<∞,Eτ<∞. 记 Sn:=X1+⋯+Xn, 求证:
(1) | ESτ=(Eτ)⋅EX1; |
(2) | 当 E[X12]<∞,E[τ2]<∞ 时, Var(Sτ)=(Eτ)⋅Var(X1)+(EX1)2Var(τ). |
证明.
(1) | ESτ=∫E(St)dF(t)=∫tEX1dF(t)=(Eτ)⋅EX1. |
(2) | E[Sτ2]=∫E(St2)dF(t)=∫tE[X12]+(t2−t)E(X1X2)dF(t)=(Eτ)⋅E[X12]+(E[τ2]−Eτ)(EX1)2,于是Var(Sτ)=E[Sτ2]−(ESτ)2=(Eτ)⋅(E[X12]−(EX1)2)+(EX1)2(E[τ2]−(Eτ)2).□ |
七、求证: (1) 如果 E[∣X∣]<∞, 那么 a→∞limaP(∣X∣>a)=0.
(2) 如果对某个 p>0, sup{apP(∣X∣>a):a≥0}<∞, 那么对任意 0<ε<p, E[∣X∣p−ε]<∞.
证明. (1) aχX>a 点点收敛到 0 且为可积变量 X 控制, 根据 Lebesgue 控制收敛定理,aP(∣X∣>a)=∫aχX>a→∫0=0.
(2)
E[∣X∣p−ε]p−ε=(p−ε)∫0∞ap−ε−1P(∣X∣>a)da≤(p−ε)(∫01ap−ε−1da+∫1∞a−ε−1sup{apP(∣X∣>a):a≥0}da)=1+εp−εsup{apP(∣X∣>a):a≥0}<∞.八、设 N≥2 是一个正整数, ΣN:={1,2,⋯,N},Ω:=ΣN, (Ω,F,P) 是古典概率模型. 请问: 在这个古典概率模型中能定义多少个不同的随机变量 X, 使得 X∼U(ΣN)?
解答. 就是把
ΣN 划分成
A1⊎A2⊎⋯⊎AN 以对应到
1,2,⋯,N, 那所有的
Ai 都是单元素集, 有
N! 种方式.