Banach 代数
证明. 假设存在
a∈A\Ce, 则
∀f∈A∗,
f((ze−a)−1) 是有界全纯函数.
对含幺交换 Banach 代数 A 及 J∈M, A/J≅C.
证明. 范数
a∈[a]inf∥a∥ 使
A/J 成为可除 Banach 代数.
同态 φJ:A/JA/J≅C,a↦a^(J).
M→Δ={非零同态 A→C},J↦φJ 是双射.
通过这个对应, 把
Δ 的弱
∗ 拓扑移植到
M 上, 即
M 的基为
{J∈M∣∣a^1(J)−a^1(J0)∣,⋯,∣a^n(J)−a^n(J0)∣<ε}, 可以验证
M 是
T2 紧空间.
A 的 Gelfand 表示是连续同态 Γ:A→C(M),a↦a^.
∥a^∥C(M)=n→∞lim∥an∥n1.
对 T2 紧空间 M, 令 A=C(M), 有 x↦{f∈C(M)∣f(x)=0} 是 M 到 M 的同胚.
∗ 是代数 A→A 的对合是指 (a+b)∗=a∗+b∗,(λa)∗=λˉa∗,(ab)∗=b∗a∗,a∗∗=a.
Hermite 元 a∈A 是指 a∗=a.
含幺 Banach 代数 A 若有对合使 ∥a∗a∥=∥a∥2, 称 A 是 C∗ 代数.
对 T2 紧空间 M, 设 A 是 C(M) 的闭子代数, 若 A 含幺、对复共轭封闭 (即 f∈A 则 fˉ∈A)、分离点 (x=y 则存在 f∈A 使 f(x)=f(y)) , 那么 A=C(M).
设 A 是交换 C∗ 代数, 那么 Gelfand 表示是满等距 ∗ 同构, 即 Γ(A)=C(M),∥a^∥C(M)=∥a∥,a∗=a^ˉ.
设
N 是 Hilbert 空间
H 上的有界正常算子 (
N∗N=NN∗) , 记
AN=⟨I,N,N∗⟩ 在
L(H) 的闭包,
MAN 为其极大理想的空间.
σ(N)=σAn(N), 且 MAN 与之通过 J→N^(J) 同胚.
由此可以把
C(MAN) 等同于
C(σ(N)), 于是能对函数
φ∈C(σ(N)) 定义算子
φ(N)∈AN, 如下图.
由 Riesz 表示定理, 存在
σ(N) 上的复 Borel 测度
mx,y 使对任何
φ∈C(σ(N)) 有
(φ(N)x,y)=∫σ(N)φ(z)dmx,y.记有界 Borel 函数全体
B(σ(N)),
ψ∈B(σ(N)) 的范数为
∥ψ∥=σ(N)sup∣ψ(z)∣, 由另一种 Riesz 表示定理, 存在唯一的
ψ(N)∈L(H) 使
(ψ(N)x,y)=∫σ(N)ψ(z)dmx,y.∗ 同态
B(σ(N))→L(H),ψ↦ψ(N) 是
C(σ(N))→L(H),φ↦φ(N) 的扩张, 且有以下结论.
• | ∥ψ∥≥∥ψ(N)∥. |
• | 对 ψn,ψ∈B(σ(N)), 若 ψn→ψ a.e.mx,x,∀x∈H, 且 ψn 一致有界, 则 ψn(x)→ψ(x),∀x∈H. |
• | 对 A∈L(H), 若 AN=NA, 则 Aψ(N)=ψ(N)A. |
N 自伴等价于 σ(N)⊂R; N 正 (N 自伴且 (Nx,x)≥0) 等价于 σ(N)⊂R≥0.
P∈L(H) 是投影算子, 若 P 自伴且 P2=P.
设 P1,P2 是投影算子, P1P2 是投影算子等价于 P1P2=P2P1, P1+P2 是投影算子等价于 P1P2=0, P2−P1 是投影算子等价于 P2 是 P1 的部分算子 (即 ranP2⊂ranP1) .
谱族 E:C 的一切Borel集→P(H),Ω→χΩ∩σ(N)(N).
可以写
(ψ(N)x,y)=∫σ(N)ψ(z)d(E(z)x,y),其中
E(z)=E({a+bi∈σ(N)∣a≤Rez,b≤Imz}). 进一步有下面的谱分解定理.
ψ(N)=∫σ(N)ψ(z)dE(z) 在 Lebesgue 积分及算子范数意义下成立.
T∈B(H) 的谱 σ(T) 分为以下三者:
• | 点谱 σp(T)={λ∈C∣λI−T 不单}, |
• | 连续谱 σc(T)={λ∈C∣λI−T 单,ran(λI−T)=H}, |
• | 剩余谱 σr(T)={λ∈C∣λI−T 单,ran(λI−T)=H}. |
对正常算子 N, σ(N)={λ∣∀λ 的邻域 U,E(U)=0}, σp(N)={λ∣E({λ})=0}, σr(N)=∅.
正常算子 N∈B(H) 的谱 σ(N) 又分为以下二者:
• | 本质谱 σess(N)={λ∣∀λ 的Borel邻域 U,ranE(U)无限维}, |
• | 离散谱 σd(N)={其余的 λ}. |
对正常算子 N, σd(N)={λ∣是 σ(N) 的孤立点,且 ker(λI−T) 有限维}.
无界算子
闭算子 T 是指 T:(X 的子空间) D(T)→Y 的图 Γ(T)={(x,Tx)∣x∈D(T)} 是 X×Y 的闭集.
若 T 能延拓为某图像为 Γ(T) 的算子, 则记之为 T, 称 T 为可闭化的.
若 D(T)=X, 称 T 为稠定算子.
T 可闭化当且仅当对 (0,y)∈Γ(T) 有 y=0.
对稠定算子 T, 记 D(T∗)={g∈Y∗∣f(Tx)=g(x) 对某 f∈X∗}, T 的共轭算子为 T∗:D(T∗)→X∗,f↦g.
T∗ 是闭的, 且若 T1⊂T2 则 T2∗⊂T1∗.
对稠定算子 T:H→H, T 可闭化当且仅当 T∗ 稠定, 此时 T=T∗∗.
对稠定算子 T:H→H, T 对称是指 T⊂T∗ (即 (Tx,y)=(x,Ty) 对 x,y∈D(T)) , T 自伴是指 T=T∗ (即 (Tx,y)=(x,Ty) 对 x,y∈D(T) 且 D(T)=D(T∗)) , T 本质自伴是指 T 可闭化且 T 自伴.
Cayley 变换是指 H 上的 {闭对称算子}→{闭等距算子},A↦U=(A−i)(A+i)−1:im(A+i)→im(A−i).
Cayley 反变换为 U↦A=i(1+U)(1−U)−1.
设 A 是 H 上的对称算子, 以下等价:
• | A 自伴, |
• | A 闭且 ker(A∗±i)=0, |
• | im(A∓i)=H. |
设 A 是 H 上的对称算子, 以下等价:
• | A 本质自伴, |
• | ker(A∗±i)=0, |
• | im(A∓i)=H. |
设 A 是 H 上的自伴算子, 存在唯一的谱族 (R 的Borel集,E) 使 A=∫RλdEλ.
设 A 是 H 上的无界正常算子, 存在唯一的谱族 (C 的Borel集,E) 使 (Nx,y)=∫Czd(E(z)x,y),x∈D(N),y∈H.
设 A 是 H 上的闭对称算子, 则 D(A∗)=D(A)⊕ker(A−i)⊕ker(A+i).
上式直和的后两者的维数记为 (n+,n−), 称为 A 的亏指数.
设 A 是 H 上的闭对称算子, 则 σ(A) 是 {Imz≥0},{Imz≤0},C, 或 R 的子集, 最后一种情况当且仅当 A 是自伴的.
闭对称算子 A 有自伴扩张当且仅当 n+=n−.
设 A 是 H 上的对称算子, A≥−M (即 (x,Ax)≥−M(x,x)) , 则 A 有自伴扩张且 ≥−M.
设可闭化算子 B 是 A 紧的, ∀ε>0, 存在 bε>0 使 ∥Bx∥≤ε∥Ax∥+bε∥x∥.
设对称算子 B 关于自伴算子 A 的界 <1, 则 A+B 在 D(A) 自伴;
设对称算子 B 关于本质自伴算子 A 的界 ≤1, 则 A+B 在 D(A) 本质自伴.
设对称算子 B 是自伴算子 A 紧的, 有 σess(A+B)=σess(A).
算子半群
设 X 是 Banach 空间, {T(t)}t≥0⊂L(H) 是强连续半群是指:
T(0)=I,T(s)T(t)=T(s+t),∀x,T(t)x→x 当 t↓0, 其生成元是 A:D(A)={t↓0limtT(t)−Ix 存在}→该极限.
A 是稠定的闭算子, 且 dtdT(t)x=AT(t)x=T(t)Ax.
若所有 ∥T(t)∥≤1, 则称 {T(t)}t≥0 是压缩半群.
设 A 是压缩半群 {T(t)}t≥0 的生成元, 则 {Reλ>0}⊂ρ(A), 且 Reλ>0 时 Rλ(A)=∫0∞e−λtT(t)dt.
稠定闭算子 A 是某压缩半群 {T(t)}t≥0 的生成元, 当且仅当 (0,∞)⊂ρ(A) 且 ∥Rλ(A)∥≤λ1 对 λ>0.
稠定闭算子 A 是某强连续半群 {T(t)}t≥0 的生成元, 当且仅当存在 ω0>0 使 (ω0,∞)⊂ρ(A) 且存在 M>0 使 ∥Rλ(A)n∥≤(λ−ω)nM 对 λ>ω>ω0 与所有 n∈Z+.
设 A 是压缩半群 {T(t)}t≥0 的生成元, 则 T(t)=s-n→∞lim(I−ntA)−n.
稠定闭算子 A 是某强连续半群 {T(t)}t≥0 的生成元, 当且仅当 A 耗散 (即 ∀x∈D(A) 存在其规范切泛函 x∗ 使 Re(x∗,Ax)≥0) 且 im(I−A)=A.
设 A 是压缩半群 {T(t)}t≥0 的生成元, 则 A∗ 是压缩半群 {T(t)∗}t≥0 的生成元.
稠定闭算子 B 是某强连续酉算子群 {U(t)}t∈R 的生成元, 当且仅当存在自伴算子 A 使 B=iA, 此时 U(t)=eitA=∫ReitλdEλ.