用户: Yao/紧算子
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约定. 在本文中,
- 以下出现的空间均为 Banach 空间, 除非有特别说明.
- 表示该空间的开单位球, 含义清晰时下标省略.
- 为 到 的全体有界线性算子, 赋予范数拓扑.
紧算子是一类与有限维线性空间上的线性算子有类似性质的算子. 紧算子的理论在积分方程中有着重要应用.
1定义
定义 1.1. 线性算子 是紧算子, 若 是 的紧集. 到 的紧算子全体记为 .
注 1.2. 容易看出, 这等价于 把 的有界集映成 的相对列紧集. 因此, 一个常用的等价定义是: 对 的任意有界序列 , 有收敛子列.
定义 1.3. 记 为 .
2性质
命题 2.1. 是 的闭子空间.
证明. 设 , 是紧集因而有界, 所以 .
设 , 即对任意 的有界序列 , 和 有收敛子列, 由此得到 有收敛子列, 故 . 所以 是 的线性子空间.
设 , 即对任意 , 存在 使 . 由于 是紧集, 存在 使 , 因此 , 即 完全有界, 则 相对列紧, 故 . 所以 是闭集.
设 , 即对任意 的有界序列 , 和 有收敛子列, 由此得到 有收敛子列, 故 . 所以 是 的线性子空间.
设 , 即对任意 , 存在 使 . 由于 是紧集, 存在 使 , 因此 , 即 完全有界, 则 相对列紧, 故 . 所以 是闭集.
命题 2.2. 对 ,, 有 和 .
证明. 是有界集, 所以 是紧集, 故 是紧算子.
是紧集, 又由 连续得 是紧集, 故 是紧算子.
是紧集, 又由 连续得 是紧集, 故 是紧算子.
命题 2.3. 设 , 的序列 是弱收敛于 , 则 收敛于 .
证明. 是有界序列 (对 使用一致有界原理) , 所以 是相对列紧集. 而由 弱收敛于 得到 弱收敛于 , 所以 的任何收敛子列只能收敛于 , 这表明 收敛于 .
命题 2.4 (Schauder). 设 . 当且仅当 .
证明. 设 是紧算子, 注意到 的元素一致有界且等度连续 (, 且 ), 由 Arzelà-Ascoli 定理, 存在一列 在紧集 上一致收敛, 这等价于 收敛, 故 是紧算子.
设 是紧算子, 由前面所证得 , 于是 是相对列紧集 的子集因而也是相对列紧集, 故 是紧算子.
设 是紧算子, 由前面所证得 , 于是 是相对列紧集 的子集因而也是相对列紧集, 故 是紧算子.
命题 2.5. 有限秩算子是紧算子. 而且, 对 Hilbert 空间 , 等于 上有限秩算子全体的闭包.
证明. 由有限维赋范线性空间中的有界闭集是紧集得有限秩算子是紧算子.
对 , 的值域 可分, 故存在 的可数正交基 . 令 为 到子空间 的投影, 并令 , 则 是有限秩算子. 下证 收敛于 .
这是因为, 对任意 和 , 存在有限个 使得 , 令 充分大, 就有 , , 于是对使得 的 有
对 , 的值域 可分, 故存在 的可数正交基 . 令 为 到子空间 的投影, 并令 , 则 是有限秩算子. 下证 收敛于 .
这是因为, 对任意 和 , 存在有限个 使得 , 令 充分大, 就有 , , 于是对使得 的 有
注 2.6. 容易看出, 后一命题对于有 Schauder 基的 Banach 空间也成立. 但此命题不是对任何 Banach 空间都成立.
命题 2.7. 设 , 若是闭子空间则是有限维的.
证明. 为 Banach 空间之间的双射, 于是逆算子 有界, 故 是紧算子, 所以 是有限维的.
命题 2.8. 设 , 对 , 是有限维的, 且 是闭子空间.
证明. 限制在 上仍是紧算子, 而此时 , 所以 是有限维的.
因此, 存在闭集 使 . 要证 是闭集, 即证明 限制在 上的值域是闭集, 只需说明存在 使得 .
若否, 则存在 中的序列 使 且 . 由 是紧算子, 存在 的子列 收敛于某 , 则 . 于是 且 , 这说明 , 与 相矛盾.
因此, 存在闭集 使 . 要证 是闭集, 即证明 限制在 上的值域是闭集, 只需说明存在 使得 .
若否, 则存在 中的序列 使 且 . 由 是紧算子, 存在 的子列 收敛于某 , 则 . 于是 且 , 这说明 , 与 相矛盾.
3紧算子的谱
记算子 的谱为 .
命题 3.1. 设 , 当 时 , 且 是 唯一可能的聚点.
证明. 假设 , 即 存在有界逆, 则 是紧算子, 得到 .
假设 有聚点 , 则存在一列互异的特征值 且 , 设 为 的一个特征向量, , 则 . 由 Riesz 引理, 存在 使得 且 , 由于 , 得当 时 , 所以而由 得 有收敛子列, 矛盾.
假设 有聚点 , 则存在一列互异的特征值 且 , 设 为 的一个特征向量, , 则 . 由 Riesz 引理, 存在 使得 且 , 由于 , 得当 时 , 所以而由 得 有收敛子列, 矛盾.
命题 3.2. 设 , , 当且仅当 .
推论 3.3. 设 , , 则 是 的特征值.
注 3.4. 设 , 以下两个命题之一成立:
对每个 , 方程 有唯一解;
齐次方程 有 个线性无关解 ().
这是因为, 要么 可逆, 要么 为非平凡的有限维空间.
命题 3.5. 设 , , 成立
下面给出这一命题的另一种证明方式. 先证明此结论的一个特殊情况.
引理 3.6. 若 是满射, 则 是单射.
证明. 回到原命题. 先建立一个结论: 设 是 ( 的拓扑 未必由范数给出) 的一个闭子空间, 记 为 上零化 的连续线性泛函构成的空间, 有这是因为, 对任意正整数 , 存在线性无关的元素 , 令 满足 , 则 线性无关, 所以 .
令 , 由命题 2.8 为其闭子空间, 由 得令 , 则 为其闭子空间, 由 得接下来证明然后, 根据命题 2.4, 也是紧算子, 所以还有那么就完成了证明.
假设其不成立, 由 有限维, 存在闭子空间 使令 为 到 的投影, 为一个 到 的满线性映射, . 再令 是紧算子且 是有限秩算子, 所以 是紧算子. 由于以及因 有得到但由 得所以 是满射而不是单射, 与引理矛盾.
令 , 由命题 2.8 为其闭子空间, 由 得令 , 则 为其闭子空间, 由 得接下来证明然后, 根据命题 2.4, 也是紧算子, 所以还有那么就完成了证明.
假设其不成立, 由 有限维, 存在闭子空间 使令 为 到 的投影, 为一个 到 的满线性映射, . 再令 是紧算子且 是有限秩算子, 所以 是紧算子. 由于以及因 有得到但由 得所以 是满射而不是单射, 与引理矛盾.